霍夫曼(最优二叉树)和Java达到
一、定义
一些定义:
- 节点之间的路径长度:在从节点树中的一个节点也经历分公司,这构成的两个节点之间的路径分支的数目后这就是所谓的路径长度
- 的路径长度:从树的根节点到树中每一结点的路径长度之和。
在结点数目同样的二叉树中,全然二叉树的路径长度最短。
- 结点的权:在一些应用中,赋予树中结点的一个有某种意义的实数。
- 结点的带权路径长度:结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。
- 树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree:WPL):定义为树中全部叶子结点的带权路径长度之和
如以下的二叉树,叶子节点的权值分别为5、6、2、4、7,的带权路径长度计算:
- 最优二叉树:从已给出的目标带权结点(单独的结点) 经过一种方式的组合形成一棵树.使树的权值最小.。最优二叉树是带权路径长度最短的二叉树。依据结点的个数,权值的不同,最优二叉树的形状也各不同样。它们的共同点是:带权值的结点都是叶子结点。
权值越小的结点,其到根结点的路径越长。
如,给定4个叶子结点a,b,c和d,分别带权7。5。2和4。
构造例如以下图所看到的的三棵二叉树(还有很多棵),它们的带权路径长度分别为:
(a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
(b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46
(c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35
当中(c)树的WPL最小。能够验证,它就是哈夫曼树。
注意:
① 叶子上的权值均同样时,全然二叉树一定是最优二叉树。否则全然二叉树不一定是最优二叉树。
② 最优二叉树中,权越大的叶子离根越近。
③ 最优二叉树的形态不唯一。WPL最小。
二、构造哈夫曼树
1) 依据给定的n个权值{w1。 w2, w3, w4......wn}构成n棵二叉树的森林 F={T1 , T2 , T3.....Tn}。当中每棵二叉树仅仅有一个权值为wi 的根节点,其左右子树都为空;
2) 在森林F中选择两棵根节点的权值最小的二叉树,作为一棵新的二叉树的左右子树,且令新的二叉树的根节点的权值为其左右子树的权值和;
3)从F中删除被选中的那两棵子树。而且把构成的新的二叉树加到F森林中;
4)反复2 。3 操作,直到森林仅仅含有一棵二叉树为止。此时得到的这棵二叉树就是哈夫曼树。
构造步骤例如以下图:
三、Java实现
对指定节点创建哈夫曼树:
package com.liuhao.DataStructures; import java.util.ArrayDeque; import java.util.ArrayList; import java.util.List; import java.util.Queue; public class HuffmanTree { public static class Node<E> { E data; double weight; Node leftChild; Node rightChild; public Node(E data, double weight) { super(); this.data = data; this.weight = weight; } public String toString() { return "Node[data=" + data + ", weight=" + weight + "]"; } } public static void main(String[] args) { List<Node> nodes = new ArrayList<Node>(); nodes.add(new Node("A", 40.0)); nodes.add(new Node("B", 8.0)); nodes.add(new Node("C", 10.0)); nodes.add(new Node("D", 30.0)); nodes.add(new Node("E", 10.0)); nodes.add(new Node("F", 2.0)); Node root = HuffmanTree.createTree(nodes); System.out.println(breadthFirst(root)); } /** * 构造哈夫曼树 * * @param nodes * 节点集合 * @return 构造出来的哈夫曼树的根节点 */ private static Node createTree(List<Node> nodes) { // 仅仅要nodes数组中还有2个以上的节点 while (nodes.size() > 1) { quickSort(nodes); //获取权值最小的两个节点 Node left = nodes.get(nodes.size()-1); Node right = nodes.get(nodes.size()-2); //生成新节点,新节点的权值为两个子节点的权值之和 Node parent = new Node(null, left.weight + right.weight); //让新节点作为两个权值最小节点的父节点 parent.leftChild = left; parent.rightChild = right; //删除权值最小的两个节点 nodes.remove(nodes.size()-1); nodes.remove(nodes.size()-1); //将新节点增加到集合中 nodes.add(parent); } return nodes.get(0); } /** * 将指定集合中的i和j索引处的元素交换 * * @param nodes * @param i * @param j */ private static void swap(List<Node> nodes, int i, int j) { Node tmp; tmp = nodes.get(i); nodes.set(i, nodes.get(j)); nodes.set(j, tmp); } /** * 实现高速排序算法,用于对节点进行排序 * * @param nodes * @param start * @param end */ private static void subSort(List<Node> nodes, int start, int end) { if (start < end) { // 以第一个元素作为分界值 Node base = nodes.get(start); // i从左边搜索,搜索大于分界值的元素的索引 int i = start; // j从右边開始搜索,搜索小于分界值的元素的索引 int j = end + 1; while (true) { // 找到大于分界值的元素的索引,或者i已经到了end处 while (i < end && nodes.get(++i).weight >= base.weight) ; // 找到小于分界值的元素的索引。或者j已经到了start处 while (j > start && nodes.get(--j).weight <= base.weight) ; if (i < j) { swap(nodes, i, j); } else { break; } } swap(nodes, start, j); //递归左边子序列 subSort(nodes, start, j - 1); //递归右边子序列 subSort(nodes, j + 1, end); } } public static void quickSort(List<Node> nodes){ subSort(nodes, 0, nodes.size()-1); } //广度优先遍历 public static List<Node> breadthFirst(Node root){ Queue<Node> queue = new ArrayDeque<Node>(); List<Node> list = new ArrayList<Node>(); if(root!=null){ //将根元素增加“队列” queue.offer(root); } while(!queue.isEmpty()){ //将该队列的“队尾”元素增加到list中 list.add(queue.peek()); Node p = queue.poll(); //假设左子节点不为null,将它增加到队列 if(p.leftChild != null){ queue.offer(p.leftChild); } //假设右子节点不为null。将它增加到队列 if(p.rightChild != null){ queue.offer(p.rightChild); } } return list; } }以上代码中的关键步骤包含:
(1)对list集合中全部节点进行排序;
(2)找出list集合中权值最小的两个节点。
(3)以权值最小的两个节点作为子节点创建新节点;
(4)从list集合中删除权值最小的两个节点,将新节点加入到list集合中
程序採用循环不断地运行上面的步骤,直到list集合中仅仅剩下一个节点,最后剩下的这个节点就是哈夫曼树的根节点
四、哈夫曼编码
依据哈夫曼树能够解决报文编码的问题。如果须要把一个字符串,如“abcdabcaba”进行编码,将它转换为唯一的二进制码。可是要求转换出来的二进制码的长度最小。
如果每一个字符在字符串中出现频率为W。其编码长度为L,编码字符n个,则编码后二进制码的总长度为W1L1+W2L2+…+WnLn。这恰好是哈夫曼树的处理原则。
因此能够採用哈夫曼树的构造原理进行二进制编码,从而使得电文长度最短。
对于“abcdabcaba”。共同拥有a、b、c、d4个字符。出现次数分别为4、3、2、1,相当于它们的权值,将a、b、c、d以出现次数为权值构造哈夫曼树,得到下左图的结果。
从哈夫曼树根节点開始,对左子树分配代码“0”,对右子树分配“1”,一直到达叶子节点。
然后,将从树根沿着每条路径到达叶子节点的代码排列起来,便得到每一个叶子节点的哈夫曼编码。例如以下右图。
从图中能够看出,a、b、c、d相应的编码分别为0、10、110、111,然后将字符串“abcdabcaba”转换为相应的二进制码就是0101101110101100100,只有长度19。这是最短的二进制编码。也被称为Huffman编码。
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