10.树和树店
一、树
1.树的定义：树是n(n>=0)个结点的有限集。当中n=0时称为空树。
在随意一颗非空树中:(1)有且仅有一个特定的称为根的结点;(2)当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、...、Tm。当中每个集合本身又是一棵树，而且称为根的子树(Subtree)。
注意：当m>0时。子树的个数没有限制。但它们一定是互不相交的。
2.结点的度与树的度
树的结点包括一个数据元素及若干指向其子树的分支。
(1)结点的度：结点拥有的子树称为结点的度(degree),当中度为0的结点称为叶结点或终端结点;
(2)树的度：树的度是树内各结点的度的最大值;
3.树的深度
结点的层次，即从根開始定义起。根为第一层。根的孩子为第二层。以此类推...。
树中结点的最大层次则称为树的深度(Depth)或高度。
假设将树中结点的个子树看成从左至右是有次序的，不能互换的。则称该树为有序树，否则称为无序树。
二、树的抽象数据类型
ADT 树(tree)
Data
树是由一个根节点和若干颗子树构成。
树中结点具有同样数据类型及层次关系。
Operation
InitTree(*T)：构造空树T
DestroyTree(*T)：销毁树T
CreateTree(*T,definition)：按definition中给出树的定义来构造树;
ClearTree(*T)：若树T存在，则将树T清为空树
TreeEmpty(T)：若T为空树，返回true,否则返回false;
TreeDepth(T)：返回T的深度
......
DeleteChild(*T,*p,i)：当中p指向树T的某个结点。i为所指结点的p的度。操作结果为删除T中p所指结
点的第i颗子树。
endADT
三、树的存储结构
因为树中某个结点的孩子能够有多个，不管依照何种顺序(顺序存储或链式存储)将树中全部结点存储到数组中。结点的存储位置都无法直接反映树的逻辑关系。因此。我们不能简单的使用顺序存储或链式存储来存储树。我们能够充分利用这两种存储结构的特点，来实现树的存储结构的表示。分别从结点的：双亲、孩子、兄弟着手。
1.双亲表示法
(1)核心思想
我们如果以一组连续空间存储树的结点。同一时候在每一个结点中附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。即每一个结点除了自己是谁以外，还知道它的双亲在哪里。这就是树的双亲表示法。
(2)结点结构
当中data树结点的数据域，用来存储结点的数据信息;parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。用双亲表示法的结点结构定义代码例如以下：
<span style="font-size:18px;">/*树的双亲表示法结点结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100 //数组存储空间大小为100
typedef int TElemType; //树结点的数据类型。眼下暂定为整型
/*结点结构*/
typedef struct PTNode
{
TElemType data; //结点数据(数据域)
int parent; //双亲位置(指针域)
}PTNode;
/*树结构*/
typedef struct
{
PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; //结点数组(树的结点数)
int r,n; //根的位置和结点数
}</span> 注意：因为跟结点是没有双亲的，所以我们约定根结点的位置域(指针域)设置为-1.
(3)双亲结点表示法举例
从上述实例我们能够看出，依据结点的parent指针非常easy找到它的双亲结点，所以用的时间复杂度为O(1),直到parent为-1时。表示找到了树节点的根。除此之外，我们还能够为结点添加一个结点最左孩子的指针域或右兄弟指针域，用以解决找到结点孩子或兄弟的问题。
2.孩子表示法
因为树中每一个结点可能有多棵子树。普通情况会考虑用多重链表表示法：每一个结点有多个指针域。当中每一个指针指向该结点一颗子树的根结点。但每一个结点的度(孩子的个数)是不同的的，设计两种方案解决：一种是设计结点指针域的个数等于树的度;一种是设计每一个结点指针域的个数等于该结点的度(专门取一个位置来存储结点指针域的个数)。然后，前者易导致空间浪费;后者提高了空间的利用率，可是因为各个结点的链表是不同的结点且结点的度的数值须要维护，这就使在运算上带来时间上的损耗。
(1)核心思想
为了遍历遍历存储在一个顺序存储结构数组中的整棵树，我们对每一个结点的孩子建立一个单链表来体现结点的孩子之间的关系。表述为：把每一个结点的孩子结点排列起来。以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表。假设是叶子结点则此单链表为空。然后，n个头指针又组成一个线性表，採用顺序存储结果。存放一个一维数组。
(2)结点结构
>>>> 孩子链表的孩子结点：
>>>>表头数组的表头结点：
用孩子表示法的结构定义代码(图一)：
/*树的孩子表示法定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100 //存储空间大小
/*孩子结点*/
typedef struct CTNode
{
int child; //数据域:为表头数组中结点的数组下标
struct CTNode *next; //指针域：指向该结点的下一个孩子结点的指针
} *ChildPtr;
/*表头结点*/
typedef struct
{
TElemType data; //数据域
ChildPtr firstchild;
}CTBox;
/*树结构*/
typedef struct
{
CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; //结点数组
int r,n; //根的位置和结点数
} CTree; (3)孩子结点表示法举例
这种结构对于我们要查找某个孩子，或者找某个结点的兄弟，仅仅须要查找这个结点的孩子单链表就可以。对于遍历整棵树也是非常方便的，即对头结点的数组循环就可以(图一)。当然，除了查找某个结点的孩子和兄弟，我们还能实现查找该结点的双亲，如图二所看到的。
3.孩子兄弟表示法
(1)核心思想
随意一棵树。它的随意一个结点的第一个孩子假设存在就是唯一的，它的右兄弟假设存在也就是唯一的。因此，我们设置两个指针。分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。
(2)结点结构
当中。data是数据域;firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址;rightsib指针域。存储该结点的右兄弟结点的存储地址。结点结构定义代码：
<span style="font-size:18px;">/*树的孩子兄弟表示法结构定义*/
typedef struct CSNode
{
TElemType data; //数据域
struct CSNode *firstchild,*rightsib;//指针域
}CSNode,*CSTree;</span>(3)孩子兄弟表示法举例
由此可知，当我们查找某个结点的某个孩子时。仅仅需通过fitstchild找到该结点的长子。然后再通过长子结点的rightsib找到它的二弟，接着一直下去。直到找到详细的孩子。此外，我们还能够为结点添加一个parent指针域实现高速查找该结点的双亲。
总结：孩子兄弟表示法最大的有点就是它把一颗复杂的树变成了一颗二叉树。然后我们便能够充分利用二叉树的特性和算法来处理这颗树了。
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