浮点数的二进制表示
基础知识:
十进制转十六进制;
十六进制转二进制;
IEEE制定的浮点数表示规则;
了解:
眼下C/C++编译器标准都遵照IEEE制定的浮点数表示法来进行float,double运算。这样的结构是一种科学计数法,用符号、指数和尾数来表示,底数定为2——即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添上符号。以下是详细的规格:
符号位 阶码 尾数 长度
float 1 8 23 32
double 1 11 52 64
下面通过几个样例解说浮点数怎样转换为二进制数
例一:
已知:double类型38414.4。
求:其相应的二进制表示。
分析:double类型共计64位,折合8字节。由最高到最低位各自是第63、62、61、……、0位:
最高位63位是符号位,1表示该数为负,0表示该数为正;
62-52位,一共11位是指数位;
51-0位,一共52位是尾数位。
步骤:依照IEEE浮点数表示法,以下先把38414.4转换为十六进制数。
把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制:960E。小数的处理:
0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……
实际上这永远算不完!这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位即可了。隐藏位技术:最高位的1不写入内存(终于保留下来的还是52位)。
假设你够耐心,手工算到53位那么因该是:38414.4(10)=1001011000001110.0110011001100110011001100110011001100(2)
科学记数法为:1.0010110000011100110011001100110011001100110011001100,右移了15位,所以指数为15。或者能够例如以下理解:
1.001011000001110 0110011001100110011001100110011001100×2^15
于是来看阶码,按IEEE标准一共11位,能够表示范围是-1024 ~ 1023。由于指数能够为负,为了便于计算,规定都先加上1023(2^10-1),在这里,阶码:15+1023=1038。二进制表示为:100 00001110;
符号位:由于38414.4为正相应 为0;
合在一起(注:尾数二进制最高位的1不要):
01000000 11100010 11000001 110 01100 11001100 11001100 11001100 11001100
例二:
已知:整数3490593(16进制表示为0x354321)。
求:其相应的浮点数3490593.0的二进制表示。
解法例如以下:
先求出整数3490593的二进制表示:
H: 3 5 4 3 2 1 (十六进制表示)
B: 0011 0101 0100 0011 0010 0001 (二进制表示)
│←───── 21────→│
即:
1.1010101000011001000012×221
可见,从左算起第一个1后有21位,我们将这21为作为浮点数的小数表示,单精度浮点数float由符号位1位,指数域位k=8位,小数域位(尾数)n=23位构成,因此对上面得到的21位小数位我们还须要补上2个0,得到浮点数的小数域表示为:
1 0101 0100 0011 0010 0001 00
float类型的偏置量Bias=2k-1-1=28-1-1=127,但还要补上刚才由于右移作为小数部分的21位,因此偏置量为127+21=148,就是IEEE浮点数表示标准:
V = (-1)s×M×2E
E = e-Bias
中的e,此前计算Bias=127,刚好验证了E=148-127=21。
将148转为二进制表示为10010100,加上符号位0,最后得到二进制浮点数表示1001010010101010000110010000100,其16进制表示为:
H: 4 A 5 5 0 C 8 4
B: 0100 1010 0101 0101 0000 1100 1000 0100
|←──── 21 ─────→ |
1|←─8 ─→||←───── 23 ─────→ |
这就是浮点数3490593.0(0x4A550C84)的二进制表示。