3D数学基础No.1

　　 

Part 1 最基础的部分：

　　3D世界中的点和方向多用一个4D向量表示，前三个向量是XYZ，第四个分量是W.

　　第四个分量的引入有两个作用：一是为了区分向量和点。二是为了进行变换。

　　W=1表示点，可以平移。

　　W=0表示向量，平移对其不起作用。因为它只是用来表示方向的。

 

　　3D中常用的变换多是用矩阵和向量相乘来实现，和4D向量相乘，所需要的变换矩阵是4×4的形式，可以实现平移、旋转、缩放。

　　因为图形API的不同，向量和矩阵的形式会对应不同。

　　DirectX使用行向量，行向量左乘矩阵得到行向量。转换顺序是从左往右发生：vABC，表示v向量先进行A转换，再B，再C.

　　OpenGL使用列向量，列向量右乘矩阵得到列向量。转换时从右往左：CBAv。

 

Part2 转换矩阵讨论

线性代数基础：

　　首先弄清楚线性代数中的几个概念：

　　转置矩阵：一个矩阵的转置矩阵就是将这个矩阵的行列交换。

　　逆矩阵：一个矩阵乘以它的逆矩阵得到单位矩阵。

　　正交矩阵：若一个矩阵的转置矩阵就是它的逆矩阵，那么这个矩阵就是正交矩阵。

 

　　转换矩阵包含了平移、旋转、缩放。

　　一个矩阵可以单纯地表示一种变换，如只表示平移，可以将它称为平移矩阵。

　　矩阵也可以同时表达多种变换，如将平移矩阵和旋转矩阵相乘就可以得到先平移后旋转的矩阵。注意矩阵相乘的顺序很重要，交换顺序后得到的结果不同。

 

　　根据逆矩阵的性质可以知道，逆矩阵表达的是相反的变换，乘以变换矩阵后再乘以逆矩阵等于总体乘以了一个单位矩阵。

 

　　平移矩阵的逆矩阵可以直接将平移参数取负。（前后加减平移参数得0）。

　　缩放矩阵的逆矩阵就是将对角线上的三个缩放参数取自身的倒数。（前后相乘缩放参数得1）。

　　旋转矩阵的逆矩阵可以将旋转的角度参数取负，表示再转过相反的角度。

　　可以发现只有旋转矩阵的逆矩阵是转置得到的，所以只有旋转矩阵是正交矩阵。