算法题004 寻找最大的K个数
寻找最大的K个数
题目描述
有很多个无序的数，怎么选出其中最大的若干个数？
即，从n个数中选出最大的K个数。
解法一
先假设元素的数量不大，例如在几千个左右，在这种情况下，我们就排序吧。
在这里，快速排序或堆排序都是不错的选择，他们的平均时间复杂度都是O(nlog2n)，然后取出钱K个，O(K)。
总的时间复杂度仍然是O(nlog2n)。
可以注意到，即便是K=1的情况，上面的算法复杂度仍然是O(nlog2n)，而显然，我们可以通过n-1此的比较和交换得到结果，不需要对整个数组进行排序。
要避免做后面n-K个数的排序，可以使用部分排序算法，选择排序和冒泡排序都是不错的选择。
把n个数中的前K个数排序出来，复杂度是O(n*K)。
哪一个更好呢？O(nlog2n) 和O(n*K)？这取决于K的大小，在K<log2n的情况下，可以选择部分排序。
解法二
回忆一下快速排序，快排中的每一步，都是将数据分为两组，其中一组的任何数都小于另一组中的任何数，不断地对数据进行分割直到不能再分即完成排序。
假设n个数存储在数组S中，从S中找出一个元素X，它把数组分为比它大的和比它小的两部分，假设比它大的一部分数组是Smax，比它小的部分是Smin。
这时有两种可能：
1.Smax中元素不足K个，说明Smax中的所有数和Smin中最大的K-|Smax|个元素就是数组S中最大的K个数；
2.Smax中元素的个数大于或等于K，则需要返回Smax中最大的K个元素。
这样递归下去，问题的规模不断地变小，平均时间复杂度O(n * log2K)。
解法三
寻找n个数中最大的K个数，本质上就是寻找这K个数中最小的那个，也就是第K大的数。
可以使用二分搜索的策略。对于一个给定的数p，可以在O(n)的时间复杂度内找出所有不小于p的数。
（此方法详述部分略）。
解法四：如果N非常非常大呢？
前面三个解法都需要对数据访问多次，如果n很大呢？100亿？这个时候数据不能全部装入内存，所以要求尽可能少地遍历所有数据。
前K个数中最大的K个数是一个退化的情况，所有K个数就是最大的K个数，如果考虑第K+1个数，则它和前面K个数的最小值进行比较，比其大则替换它。
如果用一个数组来存储最大的K个数，每加入一个数X，就扫描一遍数组，得到数组中最小的数Y。X和Y进行比较，替换它或者保持原数组不变。这种方法，所耗费的时间复杂度为O(n * K)。
进一步，可以用容量为K的最小堆来存储最大的K个数。最小堆的堆顶元素就是最大K个数中最小的一个。每次新考虑一个数X，如果X小于堆顶则舍弃，如果X大于堆顶，那么用X替换堆顶，然后更新堆来维持堆的性质。（因为X可能并不是最小值，所以堆结构需要更新）。更新过程花费的时间复杂度为O(log2K)。
因此，算法的时间复杂度为O(n * log2K)，这实际上是部分执行了堆排序的算法。
解法五
如果所有n个数都是整数，且它们的取值范围不太大，可以考虑申请空间，记录每个整数出现的次数，然后再从大到小取最大的K个。
比如用数组count，count[i]表示整数i出现的次数。
极端情况下，如果n个整数各不相同，只需要一个bit来存储这个整数是否存在。
实际情况下，并不一定能保证所有元素都是正整数，且取值范围不太大。但是这种方法仍然可以推广适用。比如把取值区间分成多块，然后统计各个小区间中元素的个数。可以知道第K大的元素在哪一个小区间，然后再对那个小区间继续进行分块处理。
参考资料
《编程之美》2.5节。
本题目其他相关链接：
链接1：http://blog.csdn.net/koala002/article/details/6415485
链接2：http://www.cnblogs.com/luxiaoxun/archive/2012/08/06/2624799.html
本博客关于排序算法的回顾：
排序算法：http://www.cnblogs.com/mengdd/archive/2012/11/24/2786346.html
