查找算法（III）二叉排序树（B树）和平衡树（AVL树）

　　二叉排序树，也称B树，是查找算法中比较常提到的一种数据结构，本文介绍其基本概念和查找过程，并分析其查找效率，进而引出了平衡树（AVL树）的概念。

B树的结构

　　B树即为二叉搜索树或称二叉排序树（Binary Sort Tree），也有叫二叉查找树的。

　　它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

　　1.若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

　　2.若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

　　3.它的左右子树也分别为二叉排序树。

　　中序遍历二叉排序树可以得到一个有序序列。

在二叉排序树上查找

　　首先将给定值和根结点的关键字比较，若相等，则查找成功，若不相等，则根据给定值和根结点关键字之间的大小关系，在左子树或右子树上继续进行查找。

　　若查到为空树时，说明该树中没有待查记录，故查找不成功。

二叉排序树的查找分析

　　在二叉排序树上查找其关键字等于给定值的结点的过程，恰是走了一条从根结点到该结点的路径的过程，和给定值比较的关键字个数等于路径长度加1（或结点所在层次数），　　　　因此，和折半查找类似，与给定值比较的关键字个数不超过树的深度。

　　然而，折半查找长度为n的表的判定树是唯一的，而含有n个结点的二叉排序树却不唯一。

　　含有n个结点的二叉排序树的平均查找长度和树的形态有关，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉排序树蜕变为单支树。

　　这时树的深度为n，其平均查找长度为（n+1）/2，和顺序查找相同，这是最差的情况。

　　显然，最好的情况应该是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和log₂n成正比，即我们希望二叉排序树是平衡的。

平衡二叉树

　　平衡二叉树（Balanced Binary Tree或 Height-Balanced Tree）又称AVL树。

　　它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

　　它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。

　　若将二叉树上结点的平衡因子BF（Balance Factor）定义为该结点的左子树深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-1,0和1.

　　在平衡树上进行查找的时间复杂度为O(logn)。