SG 大法（Sprague-Grundy函数）
SG函数的定义：
g(x) = mex ( sg(y) |y是x的后继结点 )
其中mex（x）（x是一个自然是集合）函数是x关于自然数集合的补集中的最小值，比如x={0,1,2,4,6} 则mex（x）=3；
什么是后继结点？
所谓后继结点就是当前结点经过一个操作可以变成的状态。比如对于取4石子游戏，假如每次可以取的数目是1,2,4，当前的石子数目也就是当前状态是5，那么5的后继结点就是{5-1, 5-2, 5-4}={4,3,1}；
如果5的三个后继结点的SG函数值分别为0,1,3，那么5的SG值就是集合{0,1,3}的补集的最小元素，也就是2。
关于整个游戏的sg值之和sum，定义sum=sg1 ^ sg2 ^ sg3 ^ ……sgn. 其中^表示按位异或运算。
结论：一个游戏的初始局面是必败态当且仅当sum=0。
插一段大神的论文
上一期的文章里我们仔细研究了Nim游戏，并且了解了找出必胜策略的方法。但如果把Nim的规则略加改变，你还能很快找出必胜策略吗？比如说：有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……这时看上去问题复杂了很多，但相信你如果掌握了本节的内容，类似的千变万化的问题都是不成问题的。
现在我们来研究一个看上去似乎更为一般的游戏：给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。事实上，这个游戏可以认为是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。也就是说，任何一个ICG都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Garundy函数。
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。
来看一下SG函数的性质。首先，所有的terminal position所对应的顶点，也就是没有出边的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是空集。然后对于一个g(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足g(y)!=0。对于一个g(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足g(y)=0。
以上这三句话表明，顶点x所代表的postion是P-position当且仅当g(x)=0（跟P-positioin/N-position的定义的那三句话是完全对应的）。我们通过计算有向无环图的每个顶点的SG值，就可以对每种局面找到必胜策略了。但SG函数的用途远没有这样简单。如果将有向图游戏变复杂一点，比如说，有向图上并不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任选一颗进行移动，这时，怎样找到必胜策略呢？
让我们再来考虑一下顶点的SG值的意义。当g(x)=k时，表明对于任意一个0<=i<k，都存在x的一个后继y满足g(y)=i。也就是说，当某枚棋子的SG值是k时，我们可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。不知道你能不能根据这个联想到Nim游戏，Nim游戏的规则就是：每次选择一堆数量为k的石子，可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。这表明，如果将n枚棋子所在的顶点的SG值看作n堆相应数量的石子，那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略！
对于n个棋子，设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,...,an)，再设局面(a1,a2,...,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把ai变成k，那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。这听上去有点过于神奇——怎么绕了一圈又回到Nim游戏上了。
其实我们还是只要证明这种多棋子的有向图游戏的局面是P-position当且仅当所有棋子所在的位置的SG函数的异或为0。这个证明与上节的Bouton's Theorem几乎是完全相同的，只需要适当的改几个名词就行了。
刚才，我为了使问题看上去更容易一些，认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上，而是每个棋子在一个有向图上，每次可以任选一个棋子（也就是任选一个有向图）进行移动，这样也不会给结论带来任何变化。
所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games)：设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是：g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是说，游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
再考虑在本文一开头的一句话：任何一个ICG都可以抽象成一个有向图游戏。所以“SG函数”和“游戏的和”的概念就不是局限于有向图游戏。我们给每个ICG的每个position定义SG值，也可以定义n个ICG的和。所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时，只需对于每个游戏找出求它的每个局面的SG值的方法，就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆，然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了！
回到本文开头的问题。有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……我们可以把它看作3个子游戏，第1个子游戏只有一堆石子，每次可以取1、2、3颗，很容易看出x颗石子的局面的SG值是x%4。第2个子游戏也是只有一堆石子，每次可以取奇数颗，经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。第3个游戏有n-2堆石子，就是一个Nim游戏。对于原游戏的每个局面，把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值，然后就可以根据这个SG值判断是否有必胜策略以及做出决策了。其实看作3个子游戏还是保守了些，干脆看作n个子游戏，其中第1、2个子游戏如上所述，第3个及以后的子游戏都是“1堆石子，每次取几颗都可以”，称为“任取石子游戏”，这个超简单的游戏有x颗石子的SG值显然就是x。其实，n堆石子的Nim游戏本身不就是n个“任取石子游戏”的和吗？
所以，对于我们来说，SG函数与“游戏的和”的概念不是让我们去组合、制造稀奇古怪的游戏，而是把遇到的看上去有些复杂的游戏试图分成若干个子游戏，对于每个比原游戏简化很多的子游戏找出它的SG函数，然后全部异或起来就得到了原游戏的SG函数，就可以解决原游戏了。这种“分而治之”的思想在下一节介绍的“翻硬币游戏”中将被应用得淋漓尽致。还是敬请期待。
SG打表模板
1 //f[] 可以取走的石子数 从f[1]开始 f[]里的值要从小到大排序 2 //sg[] 0~n的sg函数值 3 int f[maxn],sg[maxn],mex[maxn]; //maxn一个堆的大小 4 int k ; //k为集合的大小 5 void getsg(int n) 6 { 7 int i,j; 8 sg[0]=0; 9 for (i=1;i<=n;i++){ 10 memset(mex,0,sizeof(mex)); 11 j=1; 12 while (j<=k && i>=f[j]){ 13 mex[sg[i-f[j]]]=1; //i-f[j] 是 i的后继结点 14 j++; 15 } 16 j=0; 17 while (mex[j]) j++; 18 sg[i]=j; 19 } 20 }
HDU 1536 和 1944
题意：
首先输入K 表示一个集合的大小 之后输入集合 表示对于这对石子只能去这个集合中的元素的个数
之后输入 一个m 表示接下来对于这个集合要进行m次询问
之后m行 每行输入一个n 表示有n个堆 每堆有n1个石子 问这一行所表示的状态是赢还是输 如果赢输入W否则L
Sample Input
2 2 5 // 集合大小 集合里的数
3 //询问次数
2 5 12 // 多少堆 堆的大小
3 2 4 7
4 2 3 7 12
5 1 2 3 4 5
3
2 5 12
3 2 4 7
4 2 3 7 12
0
Sample Output
LWW //L为先手败
WWL
1 # include <iostream> 2 # include <cstdio> 3 # include <cmath> 4 # include <cstring> 5 # include <algorithm> 6 using namespace std ; 7 8 int f[110],sg[10010],mex[110]; 9 int k ; //k为集合的大小 10 void getsg(int H) 11 { 12 int i,j; 13 sg[0]=0; 14 for (i=1;i<H;i++){ 15 memset(mex,0,sizeof(mex)); 16 j=1; 17 while (j<=k && i>=f[j]){ 18 mex[sg[i-f[j]]]=1; 19 j++; 20 } 21 j=0; 22 while (mex[j]) j++; 23 sg[i]=j; 24 } 25 } 26 27 int main () 28 { 29 // freopen("in.txt","r",stdin) ; 30 31 while (scanf("%d" , &k) , k) 32 { 33 int i ; 34 for (i = 1 ; i <= k ; i++) 35 { 36 scanf("%d" , &f[i]) ; 37 } 38 sort(f+1 , f+1+k) ; 39 getsg(10010) ; 40 int m ; 41 scanf("%d" , &m) ; 42 while (m--) 43 { 44 int n ; 45 scanf("%d" , &n) ; 46 int x ; 47 int sum = 0 ; 48 for (i = 1 ; i <= n ; i++) 49 { 50 scanf("%d" , &x) ; 51 sum ^= sg[x] ; 52 } 53 if (sum == 0) 54 printf("L") ; 55 else 56 printf("W") ; 57 } 58 printf("\n") ; 59 } 60 61 return 0 ; 62 }
HDU 1848
1、 这是一个二人游戏;
2、 一共有3堆石子，数量分别是m, n, p个；
3、 两人轮流走;
4、 每走一步可以选择任意一堆石子，然后取走f个；
5、 f只能是菲波那契数列中的元素（即每次只能取1，2，3，5，8…等数量）；
6、 最先取光所有石子的人为胜者；
假设双方都使用最优策略，请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。
如果先手的人能赢，请输出“Fibo”，否则请输出“Nacci”
Sample Input
1 1 1 // m n p
1 4 1
0 0 0
Sample Output
Fibo
Nacci
# include <iostream> # include <cstdio> # include <cmath> # include <cstring> # include <algorithm> using namespace std ; const int maxn = 1100 ; int f[maxn],sg[maxn],mex[maxn]; //maxn一个堆的大小 int k ; //k为集合的大小 void getsg(int n) { int i,j; sg[0]=0; for (i=1;i<=n;i++){ memset(mex,0,sizeof(mex)); j=1; while (j<=k && i>=f[j]){ mex[sg[i-f[j]]]=1; //i-f[j] 是 i的后继结点 j++; } j=0; while (mex[j]) j++; sg[i]=j; } } int main () { f[1] = 1 ; f[2] = 2 ; int i , n ,m , p ; for (i = 3 ; i <= 16 ; i++) f[i] = f[i - 1] + f[i - 2] ; k = 16 ; getsg(1010) ; while (scanf("%d %d %d" , &m , &n , &p) ) { if (m == 0 && n == 0 && p == 0) break ; int sum = 0 ; sum = sg[m] ^ sg[n] ^ sg[p] ; if (sum == 0) printf("Nacci\n") ; else printf("Fibo\n") ; } return 0 ; }
HDU 1847 （如果找规律法不会 可以用SG）
1 # include <iostream> 2 # include <cstdio> 3 # include <cmath> 4 # include <cstring> 5 # include <algorithm> 6 using namespace std ; 7 8 const int maxn = 1100 ; 9 10 int f[maxn],sg[maxn],Hash[maxn]; 11 void getsg(int n) 12 { 13 memset(sg,0,sizeof(sg)); 14 for(int i=1;i<=n;i++) 15 { 16 memset(Hash,0,sizeof(Hash)); 17 for(int j=1;f[j]<=i;j++) 18 Hash[sg[i-f[j]]]=1; 19 for(int j=0;j<=n;j++) 20 { 21 if(Hash[j]==0) 22 { 23 sg[i]=j; 24 break; 25 } 26 } 27 } 28 } 29 30 int main () 31 { 32 int n ; 33 f[1] = 1 ; 34 int i ; 35 for (i = 2 ; i <= 12 ; i++) 36 f[i] = f[i-1] * 2 ; 37 getsg(1000) ; 38 while (scanf("%d" , &n) != EOF) 39 { 40 int sum = 0 ; 41 sum ^= sg[n] ; 42 if (sum == 0) 43 printf("Cici\n") ; 44 else 45 printf("Kiki\n") ; 46 } 47 48 return 0 ; 49 }
