差分与前缀和

差分与前缀和

差分与前缀和两个互补？的概念

前缀和的差分值 为原序列 差分的前缀和 也为原序列

这个是非常基础的 相信大家都会。

首先来讲前缀和 前缀和这个东西 大家肯定都会用 这里只提一下二维前缀和应该怎么用

令\(val[i][j]\)为当前节点的值(一般来说是\(1*1\)的格子），\(sum[i][j]\)表示当前点的前缀和

那么根据容斥原理（容斥原理真的好难，但这个手玩一下就可以发现了）

\(sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+val[i][j]\)

如果要求\(r*r\)的格子的值呢

\(val[i][j]=sum[i][j]-s[i-r][j]-s[i][j-r]+s[i-r][j-r]\)

这样就可以做板子题 激光炸弹了！

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
int val[5010][5010],n,r,ans=0;
int main(){
	scanf("%d %d",&n,&r);
	for(int i=1,x,y,z;i<=n;i++){
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
		val[x+1][y+1]=z;
	}
	for(int i=1;i<=5001;i++)
		for(int j=1;j<=5001;j++)
			val[i][j]+=val[i-1][j]+val[i][j-1]-val[i-1][j-1];
	for(int i=0;i+r<=5000;i++)
		for(int j=0;j+r<=5000;j++)
			ans=max(ans,val[i+r][j+r]-val[i+r][j]-val[i][j+r]+val[i][j]);
	printf("%d",ans);
}

讲完了前缀和 那么我们现在来讲一讲差分

首先差分在进行区间整体修改的时候非常好用

如果采用暴力的话 会对这个区间所有的数全部修改

而如果使用差分序列的话 若要使区间\([l,r]\)\(+d\)

我们只需要使差分序列\(b[l]+d\),\(b[r+1]-d\) 就可以了 从而将区间操作改为单点操作 降低复杂度和难度

IncDec Sequence

这道题要使的所有的数相同，相当于使得除了差分序列的\(b[1]\) 其余全部为0

那么这个时候 我们考虑 如果要使的操作次数少 首先明确每一次操作 都会造成一个+1操作和一个-1操作

那么我们只需要求得\([2,n]\)这个区间负数的和的绝对值p和正数的和q

如果\(p!=q\) 显然需要与\(b[1]\)进行差分

然后\(ans=min(p,q)+|p-q|\)

关于其值的可能性 因为保证序列所有数都相同的话 相当于求\(b[1]\)的可能性。 所以\(b[1]\)的可能性为\(|p-q|+1\)

放代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
long long ans,fangan,n,a[100010],b[100010],zheng,fu;
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	for(long long i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		b[i]=a[i]-a[i-1];
	}
	b[n+1]=0;
	for(long long i=2;i<=n;i++){
		if(b[i]>0) zheng+=b[i];
		else fu-=b[i];	
	}
	ans=min(zheng,fu)+abs(zheng-fu);
	fangan=abs(zheng-fu)+1;
	printf("%lld\n%lld",ans,fangan);
}