div3数论

有理数取余

1.首先转化形式,把除法形式转化为乘法的形式

2.费马小定理(记住结论即可)

3.通过费马小定理可以得出

4.注意a和b的范围,把字符串先转化为数字
代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
const int N=1e6+10,mod=19260817,INF=1e17,M=5e6;

typedef pair<int,int> PII;

/*
233333
2
2*10+3=23
(2*10+3)*10+3=233
((2*10+3)*10+3)*10+3=2333
*/

int qmi(int a,int k){
	int res=1;
	while(k){
		if(k&1) res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		k>>=1; 
	}
	return res;
}

void slove(){
	string a,b;
	cin>>a>>b;
	int na=0,nb=0;
	for(auto c:a){//遍历a的字符串,转化数字 
		na=(na*10+c-'0')%mod;
	}
	for(auto c:b) nb=(nb*10+c-'0')%mod;
	
	cout<<na*qmi(nb,mod-2)%mod<<endl;
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	int T=1;
//	cin>>T;
	while(T--) slove();
}

codeforcesA

两数之间的差值是两个数的最大公约数的倍数(辗转相除法原理)
因为要求线段的端点的gcd为1,所以可以这样构造:
[1,2],[2,3],[3,4],[4,5]
这样一定是答案,若跨度区域大于2,例如[4,6],那么[4,5][5,6]就一定包含在这个线段里面,所以答案就是r-l
对于[1,1]要进行特殊判断

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
const int N=1e6+10,mod=19260817,INF=1e17,M=5e6;

typedef pair<int,int> PII;

/*
233333
2
2*10+3=23
(2*10+3)*10+3=233
((2*10+3)*10+3)*10+3=2333
*/

int qmi(int a,int k){
	int res=1;
	while(k){
		if(k&1) res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		k>>=1; 
	}
	return res;
}

/*
a b
如果说c=b-a
那么就说明c一定是b和a的最大公约数的倍数
a b,他们的最大公约数是d
那么一定就是说a+k*d=b
c=k*d;

1 10
1 2//差值为1,那么就一定是互质的 
2 3 
3 4
4 5 

1,1
*/

void slove(){
	int l,r;
	cin>>l>>r;
	if(l==1&&r==1){
		cout<<1<<endl;
	}else {
		cout<<r-l<<endl;
	}
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	int T=1;
	cin>>T;
	while(T--) slove();
}

素数密度

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
const int N=1e6+10,mod=19260817,INF=1e17,M=5e6;

typedef pair<int,int> PII;

int qmi(int a,int k){
	int res=1;
	while(k){
		if(k&1) res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		k>>=1; 
	}
	return res;
}

bool st[N];

void slove(){
	int l,r;
	cin>>l>>r;
	
	for(int i=2;i<=100000;i++){//就是判断i在[l,r]区间内,有什么数是他的倍数就行了 
		//只对l,r进行筛
		int k=(l+i-1)/i;
		if(k==1) k++;//只筛i的倍数,并不包含i本身
		for(int j=k*i;j<=r;j+=i) st[j-l+1]=true;//埃氏筛,并且把[l,r]转化为[1,r-l+1],把不是质数的打个标记 
	}
	if(l==1) st[1]=true;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=r-l+1;i++)//统计答案
	if(!st[i]) ans++;
	
	cout<<ans<<endl;
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	int T=1;
//	cin>>T;
	while(T--) slove();
}

(最大公约数和最小公倍数问题)[https://www.luogu.com.cn/problem/P1029]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
const int N=1e6+10,mod=19260817,INF=1e17,M=5e6;

typedef pair<int,int> PII;

/*
233333
2
2*10+3=23
(2*10+3)*10+3=233
((2*10+3)*10+3)*10+3=2333
*/

int qmi(int a,int k){
	int res=1;
	while(k){
		if(k&1) res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		k>>=1; 
	}
	return res;
}

int gcd(int a,int b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

bool st[N];

void slove(){
	int x,y;
	cin>>x>>y;
	if(y%x!=0){//p,q的lcm=y,gcd=x,那么x一定是y的因子 
		cout<<0<<endl;
		return ;
	}
	int p=y/x;
	int ans=0;//记录答案 
	for(int i=1;i*i<=p;i++){
		if(p%i==0){
			int k1=i,k2=p/i;//p=k1*k2 
			if(gcd(k1,k2)==1){
				ans++;
				if(k1!=k2) ans++;//p,q不相等的,那么p,q可以互换,作为答案的贡献 
			}
		}
	}
	cout<<ans<<endl; 
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	int T=1;
//	cin>>T;
	while(T--) slove();
}