图论结论

点双联通分量

这些结论在点双大小不小于 3 时成立。

• 对于点双中不同的三个点 \(x,y,z\)，存在以 \(x,z\) 为端点，经过 \(y\) 的简单路径
• 对于点双中不同的两个点 \(x,y\)，存在经过 \(x,y\) 的简单环。
• 对于点双中一个点 \(x\) 和一条边 \(e\)，存在经过 \(x,e\) 的简单环。
• 对于点双中两个点 \(x,y(x\ne y)\) 和一条边 \(e\)，存在 \(x\rightarrow e\rightarrow y\) 的简单路径。

最小边覆盖

定义：选择最少的边，使得每个点都有一条边相连。

结论：二分图最小边覆盖大小等于二分图大小-最大匹配

构造方案：选择所有匹配，对于没有边相连的点，随便选一条边。

最小点覆盖：

定义：选择最少的点，使得每条边都有一端被选。

结论：二分图的最小点覆盖等于二分图最大匹配

构造方案：从所有左侧未匹配的点出发，先走一条未匹配边，然后走一条匹配边，把所有走过的点标记，选择左边所有未标记的点和右边所有标记的点。

最大独立集

定义：选择最多的点，使得他们之间两两没有边。

结论：二分图的最大独立集是最小点覆盖的补集。

证明：如果一条边中两个点都在最大独立集中，其补集这条边没有被覆盖，不符合定义。

最长反链

定义：选择最多的点，使得两两之间不在一条链上。
结论：偏序集中，最长反链等于最小路径覆盖。

最小路径覆盖

定义：用最少的，不相交的路径覆盖 DAG 的所有点。
求法：把每个点 \(u\) 拆成两个点 \((u,u')\)，对原图每条边 \((x,y)\)连边 \((x,y')\)，跑出这个二分图的最大匹配 \(s\)，用原
DAG 大小 \(n-s\) 就是最小路径覆盖。

最小链覆盖

定义：用最少的，可相交的路径覆盖 DAG 的所有点。
求法：对原图跑传递闭包，再跑最小路径覆盖就是答案。

竞赛图

兰道定理

如果一个 \(n\) 个点的图的入度序列（出度也行）排序后为 \(s_1,s_2\cdots s_k\)，那么这个图是竞赛图当且仅当 \(\forall 1\le k\le n,\sum\limits_{i=1}^ks_i\ge\binom k2\)

强联通分量

竞赛图缩点后一定是形如一条链的形状，每个点向其后面的点连边。所以靠前面的强连通分量出度比后面的大。

把所有点按出度从大到小排序后，每个强联通分量都是一个区间。

所有区间的右端点 \(k\) 一定满足 \(\sum\limits_{i=1}^ks_i=\binom k2\)。

然后就分割出了所有强连通分量。

可以证明，大小为 \(x(x\ge 4)\) 的强连通竞赛图中一定有大小为 \(x-1\) 的强连通子图。
设强连通竞赛图删去点 \(x\) 后缩点拓扑排序为点集合 \(a_1,a_2\cdots a_k\)

• \(k=1\)，命题得证
• \(k>2\)，删除任意 \(p\)，满足 \(p\notin a_1,p\notin a_k\) 即可
• \(k=2\)，一定存在一个强连通分量大小超过2，那个强连通分量中删除不是唯一的和 \(x\) 相连的点即可。

哈密顿通路

增量构造，维护哈密顿通路的端点 \(u,v\)

加入点 \(x\) 的时候，如果 \((u,x)\) 或 \((x,v)\) 有边，直接加到端点。不然在 \((u,x)\) 和 \((x,v)\) 有边，一定可以找到通路上相邻的两个点 \((y,z)\) 满足 \((y,x),(x,z)\) 有边。

哈密顿回路

强联通竞赛图都有哈密顿回路

求出一条通路 \(s_1\cdots s_n\)，那么一定有一个 \((s_k,s_1)\) 有边。考虑增量构造，增加点 \(s_x\)

如果前面的回路中存在两个相邻的点 \((p,q)\) 满足 \((p,s_x),(s_x,q)\) 有边，那么直接加入。

否则前面所有点都连向 \(s_x\)，没插入的点中一定存在点 \(y\) 满足 \(y\) 与 \(s_{1\sim x-1}\)有边，把 \([x,y]\) 区间一起加入就行了