变种网络流总结

最大权闭合子图

建网络流图，原图的边流量 \(\infty\)。设点权为 \(v_i\)，那么对于 \(v_i<0\) 向汇点连流量 \(-v_i\)。对于 \(v_i>0\)，向源点连 \(v_i\)。设 \(s=\sum_{v_i>0}v_i\)，网络流流量 \(c\)，最大权闭合子图 \(s-c\).

最小费用循环流

考虑如果费用全部是正的，那么最小费用一定是0.

可以强制把所有负边流满，留下反悔边。如果一个点出度大于入度，那么这个点向虚拟汇点连出度减入度，否则从虚拟源点向这个点连入度减出度。

无源汇上下界可行流

先强制把下界流满，统计每个点的流出和流入。

如果流出比流入多就从这个点向虚拟汇点连出度减入度，否则从虚拟源点连入度减出度。

然后看一下是否满流，满流的话每条边流量加上其下界就是答案，不满流无解。

有源汇上下界可行流。

设源点为 \(S\)，汇点为 \(T\)，虚拟源点为 \(S'\)，虚拟汇点为 \(T'\)
从汇点向源点连一条 \(\infin\) 的边，跑无源汇上下界可行流。

有源汇上下界最大流

先可行流，设此时 \(T->S\) 的这条边的流量为 \(f_1\)，然后去掉这条边，从 \(S\) 到 \(T\) 跑一遍最大流 \(f_2\)，此时 \(f_1+f_2\) 为上下界最大流，每条边流量为现在图流量加上流量下界