杜教筛学习笔记

杜教筛是拿来求积性函数前缀和的东西

$h=f*g$
$s(n)=\sum\limits_{i=1}^ng(i)$
而杜教筛可以在 $O(n^{\frac 23})$ 的复杂度内求出 $s(n)$，前提是存在两个很好求前缀和的函数 $f$ 和 $h$ 满足 $h=f*g$
$\sum\limits_{i=1}^{n}h(i)$$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j|i}f(j)g(\frac{i}{j})$
$=\sum\limits_{i=1}^nf(i)\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}g(j)$
$=\sum\limits_{i=1}^nf(i)s(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$
$\sum\limits_{i=1}^nh(i)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)s(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$
$\sum\limits_{i=1}^nh(i)=\sum\limits_{i=2}^nf(i)s(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)+s(n)f(1)$
$\sum\limits_{i=1}^nh(i)-\sum\limits_{i=2}^nf(i)s(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)=s(n)f(1)$

到这里就可以用整除分块求了，这样解出复杂度 $O(n^{\frac 34})$

但是可以用欧拉筛预处理在 $O(n^{\frac 23})$ 以内的前缀和，复杂度降到 $O(n^{\frac 23})$



常用函数
$\phi*I=id$
$\mu*I=e$