[CF1748D] ConstructOR

题目描述

You are given three integers $a$ , $b$ , and $d$ . Your task is to find any integer $x$ which satisfies all of the following conditions, or determine that no such integers exist:

• $0 \le x \lt 2^{60}$ ;
• $a|x$ is divisible by $d$ ;
• $b|x$ is divisible by $d$ .

输入格式

Each test contains multiple test cases. The first line of input contains one integer $t$ ( $1 \le t \le 10^4$ ) — the number of test cases.

Each test case consists of one line, containing three integers $a$ , $b$ , and $d$ ( $1 \le a,b,d \lt 2^{30}$ ).

输出格式

For each test case print one integer. If there exists an integer $x$ which satisfies all of the conditions from the statement, print $x$ . Otherwise, print $-1$ .

If there are multiple solutions, you may print any of them.

样例 #1

样例输入 #1

8
12 39 5
6 8 14
100 200 200
3 4 6
2 2 2
18 27 3
420 666 69
987654321 123456789 999999999

样例输出 #1

18
14
-1
-1
0
11
25599
184470016815529983

提示

In the first test case, $x=18$ is one of the possible solutions, since $39|18=55$ and $12|18=30$ , both of which are multiples of $d=5$ .

In the second test case, $x=14$ is one of the possible solutions, since $8|14=6|14=14$ , which is a multiple of $d=14$ .

In the third and fourth test cases, we can show that there are no solutions.

注意，后面的 $|$ 都是代表按位或，而不是整除。

要让 $a|x$ 是 $d$ 的倍数，让 $b|x$ 是 $b$ 的倍数。要同时让两个数满足不好写，所以尝试让 $a|x=b|x=x$，并让 $x$ 位 $d$ 的倍数。

为什么敢于放到这一步呢？其实发现 $x$ 的取值范围很大，所以极有可能达到这个条件。要满足上面这个条件，不妨让 $x$ 的后 30 位就是 $a|b$ 就行了

换句话说，$x\equiv a|b\pmod{2^{30}}$

如果把 $x$ 表示为 $dk$，那么就是 $dk\equiv a|b\pmod{2^{30}}$，拿个exgcd 就好了。exgcd 的解是肯定符合要求的，同时如果 exgcd 无解，肯定原来也无解。

但是有一个更简单的方法。

原方程有解的条件是 $\gcd(d,2^{30})$ 能整除 $a|b$，而 $\gcd(d,2^{30})$ 就是 $\mathrm{lowbit(d)}$，那么可以通过不断除以 2 来判断。最后如果有解的时候，$d$ 的最后一位已经被除成 1 了。现在假设答案 $ans$ 满足了前 $j-1$ 位与 $a|b$ 相等，但是第 $j$ 位与 $a|b$ 不等，那么可以让 $ans$ 加上 $d\times 2^j$。那么此时答案的这一位会发生变化，然后一直弄到 $a|b$ 已经全部被模仿出来。

由于 $a|b<2^{30}$，解合法。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,b,d,t,p,cnt;
long long ret;
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
		a|=b,p=1<<30,ret=cnt=0;
		while(!(d&1)&&!(a&1))
			a>>=1,d>>=1,p>>=1,++cnt;
		if(!(d&1))
		{
			printf("-1\n");
			continue;
		}
//		printf("%d %d %d\n",a,d,p);
		for(int i=0;(1LL<<i)<=p&&(1LL<<i)<=a;i++)
		{
			if((ret>>i&1)!=(a>>i&1))
				ret+=(1LL*d)<<i;
//			printf("%d\n",ret);
		}
		printf("%lld\n",ret*(1LL<<cnt));
	}
}