[CF1325E] Ehab's REAL Number Theory Problem

Ehab's REAL Number Theory Problem

题目描述

You are given an array $a$ of length $n$ that has a special condition: every element in this array has at most 7 divisors. Find the length of the shortest non-empty subsequence of this array product of whose elements is a perfect square.

A sequence $a$ is a subsequence of an array $b$ if $a$ can be obtained from $b$ by deletion of several (possibly, zero or all) elements.

输入格式

The first line contains an integer $n$ ( $1 \le n \le 10^5$ ) — the length of $a$ .

The second line contains $n$ integers $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_{n}$ ( $1 \le a_i \le 10^6$ ) — the elements of the array $a$ .

输出格式

Output the length of the shortest non-empty subsequence of $a$ product of whose elements is a perfect square. If there are several shortest subsequences, you can find any of them. If there's no such subsequence, print "-1".

样例 #1

样例输入 #1

3
1 4 6

样例输出 #1

1

样例 #2

样例输入 #2

4
2 3 6 6

样例输出 #2

2

样例 #3

样例输入 #3

3
6 15 10

样例输出 #3

3

样例 #4

样例输入 #4

4
2 3 5 7

样例输出 #4

-1

提示

In the first sample, you can choose a subsequence $[1]$ .

In the second sample, you can choose a subsequence $[6, 6]$ .

In the third sample, you can choose a subsequence $[6, 15, 10]$ .

In the fourth sample, there is no such subsequence.

至多7个因子是什么条件？仔细分析，其实是说明这个数至多有两个不同质因数。

要求一个序列的所有数相乘为完全平方。也就代表任意一个质因数的次数之和为偶数。那么在某一个数中，如果有一个质因数出现了偶数次，那他很没用，出现了和没出现一个样，我们就可以不理他。然后现在要求选出来的序列每种质因数出现偶数次，会想到一件事。如果有一个数的质因数是 $(u,v)$，那么就一定需要一个含有 $u$ 的数和一个含有 $v$ 的数，然后往后又要推。最后一定是一个环。所以考虑最小环构图。

构图很简单，如果存在一个数 $a_i=u\times v$（ $u,v$ 为质数），那么就可以从 $u$ 向 $v$ 连一条无向边。如果一个数次数为奇数的质因数只有一个，那就把质因数 $p$ 和 $1$ 连边。

现在到了跑最小环。最小环问题解法可以使用 Floyd，但是这里完全行不通。注意到这里的边是无权的，对于最小环，有一种 $O(n^2)$ 的算法。钦定一个一定在最小环上的点 $x$，用它跑出一棵 bfs 树。然后对于一条不在树上的边 $(u,v)$，设点 $x$ 到点 $y$ 的最短路为 $d_y$，那么如果点 $x$ 和点 $(u,v)$ 要同时在最小环上，最小环长为 $d_u+d_v+1$。

或许有人会问，如果点 $(u,v)$ 在 bfs 树上的 lca 不为点 $x$，怎么办？其实没关系，因为等我枚举 $x$ 枚举到他们的 lca 时，自然就会把那个环算入了。

$O(n^2)$ 的复杂度仍然不能接受，但发现不存在两个数 $x,y\ge 1000$，同时又有连边。这说明，最小环上一定有一个点 $x\le1000$。所以我们枚举在环上的点时只用枚举小于等于1000的质数就行了。

复杂度 $O(\frac{n\sqrt{n}}{logn})$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=1e6+5;
int n,a[N],pri[M],hd[M],dp[M],q[M],l,r,ans=2000000000,e_num(1),pw[M];
vector<int>g[M];
struct edge{
	int v,nxt,f;
}e[N<<1];
void add_edge(int u,int v)
{
	e[++e_num]=(edge){v,hd[u]};
	hd[u]=e_num;
}
void run(int x)
{
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	dp[q[l=r=1]=x]=1;
	for(int i=2;i<=e_num;i++)
		e[i].f=0;
	while(l<=r)
	{
		int k=q[l];
		++l;
		for(int i=hd[k];i;i=e[i].nxt)
		{
			if(!dp[e[i].v])
			{
				e[i^1].f=1;
				dp[e[i].v]=dp[k]+1;
				q[++r]=e[i].v;
			}
			else if(!e[i].f)
			{
//				printf("%d %d %d\n",x,k,e[i].v);
				ans=min(ans,dp[k]+dp[e[i].v]-1);
			}
		}
	}
}
int main()
{
	for(int i=2;i<M;i++)
	{
//		printf("%d\n",i);
		if(!pri[i])
		{
			for(int j=1;j*i<M;j++)
			{
				pri[j*i]=1;
				if(j%i==0)
					pw[j]=pw[j/i]^1;
				if(!pw[j])
					g[j*i].push_back(i);
			}
			for(int j=1;j*i<M;j++)
				pw[j]=0;
		}
	}
//	puts("hjhakioi");
//	for(int i=1;i<M;i++)
//	{
//		printf("%d\n",i);
//		for(int j=0;j<g[i].size();j++)
//			printf("%d ",g[i][j]);
//		putchar('\n');
//	}
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",a+i);
		if(g[a[i]].size()==1)
		{
			add_edge(1,g[a[i]][0]);
			add_edge(g[a[i]][0],1);
		}
		else if(g[a[i]].size())
		{
			add_edge(g[a[i]][0],g[a[i]][1]);
			add_edge(g[a[i]][1],g[a[i]][0]);
		}
		else
		{
			printf("1");
			return 0;
		}
	}
	for(int i=1;i<=1000;i++)
		run(i);
	if(ans>n)
		printf("-1");
	else
		printf("%d",ans);
}