[ARC145D] Non Arithmetic Progression Set

Problem Statement

Construct a set $S$ of integers satisfying all of the conditions below. It can be proved that at least one such set $S$ exists under the Constraints of this problem.

• $S$ has exactly $N$ elements.
• The element of $S$ are distinct integers between $-10^7$ and $10^7$ (inclusive).
• $ \displaystyle \sum _{s \in S} s = M$.
• $ y-x\neq z-y$ for every triple $ x,y,z$ $(x < y < z)$ of distinct elements in $ S$.

Constraints

• $1 \leq N \leq 10^4$
• $|M| \leq N\times 10^6$
• All values in input are integers.

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Input

Input is given from Standard Input in the following format:

$N$ $M$

Output

Let $s_1,s_2,\ldots,s_N$ be the elements of $S$. Print a set $S$ that satisfies the conditions in the following format:

$s_1$ $s_2$ $\ldots$ $s_N$

If multiple solutions exist, any of them will be accepted.

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Sample Input 1

3 9

Sample Output 1

1 2 6

We have $2-1 \neq 6-2$ and $1+2+6=9$, so this output satisfies the conditions. Many other solutions exist.

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Sample Input 2

5 -15

Sample Output 2

-15 -5 0 2 3

$M$ may be negative.

存在等差数列，当且仅当存在三个数$x,y,z$，使得 $y-x=z-y$

移一下项，得到 \(2y=z+x\)

考虑一个数的三进制。如果集合中所有数的三进制表示下只有 \(0\) 和\(1\)，那么 \(2y\) 的三进制表示下只由 \(0\) 和 \(2\) 组成。若要选出 \(x+z=2y\) ，当且仅当 \(x=z=y\)，而集合有不可重性。所以如果这样构造，可以得出答案。易得构造出的数在 \([-10^7,10^7]\) 内（见附注）。

但是我们要保证所有数和为m。容易发现，如果一个集合 \(s\) 是合法的，那么给 \(s\) 中每一个数同时加上一个数，集合仍然没有等差数列。所以如果构造出序列后，我们先想办法让他们的和与 \(m\) 模 \(n\) 同余，然后再给每个数加上 \(\frac{(m-sum(s))}{n}\)即可。如何微调集合使得他们的和模 \(n\) 同余呢？在枚举三进制时，我们可以空出最后一位，然后微调。

上面就是大概思路，我们用样例详解

\(n=5,m=-15\)

首先构造有5个数的合法集合

\((0010)_3=3\)
\((0100)_3=9\)
\((0110)_3=12\)
\((1000)_3=27\)
\((1010)_3=30\)

和为 \(3+9+12+27+30=81\)，模 \(5\) 余 \(1\)。\(m\) 模 \(5\) 余 \(0\)。

所以我们要选择 \(4\) 个数加 \(1\)。集合变成了：

\((0011)_3=4\)
\((0101)_3=10\)
\((0111)_3=13\)
\((1001)_3=28\)
\((1010)_3=30\)

那么我们再给每个数减去 \((85-(-15))/5=20\)。集合就是
$ {-16,-10,-7,8,10}$

代码就很好写了。

建议枚举初始合法三进制时用二进制枚举。

#include<bits/stdc++.h>
const int N=10005;
int n,s[N],ret;
long long m,x,sum,d;
int main()
{
	scanf("%d%lld",&n,&m);
	for(int i=2;i<=2*n;i+=2)
	{
		ret=3;
		for(int j=1;j<15;j++)
		{
			if(i>>j&1)
				s[i>>1]+=ret;
			ret*=3;
		}
		sum+=s[i>>1];
	}
	x=((m-sum)%n+n)%n;
	d=floor((1.00*m-sum)/n);
	for(int i=1;i<=x;i++)
		s[i]++;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld ",s[i]+d);
}