LuoguP4655 [CEOI2017]Building Bridges 解题报告

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4655

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我真傻，真的。我居然以为这道题是斜率优化。

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题意简述：你现在有 \(n\) 个柱子，对于每个柱子 \(i\) 都有 \(h_i\) 和 \(w_i\) 两个属性。在两个柱子 \(i,j\) 之间架桥需要 \((h_i-h_j)^2\) 的花费。对于剩下的不架桥的柱子，都要拆掉，每个被拆掉的柱子 \(i\) 都要花 \(w_i\)。求将 \(1\) 和 \(n\) 连起来的最小花费。\(2 \le n \le 10^5 , 0 \le h_i,|w_i| \le 10^6\)。

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这个柿子比较傻，特别好推。

我们设 \(f_i\) 为在 \(i\) 处架桥的最小花费，容易发现：

\[f_i=\min_{1\le j < i} \{ f_j+\sum_{k=j+1}^{i-1}w_k + (h_i-h_j)^2\} \]

我们令 \(s_i=\sum_{j=1}^i w_j\)，则有：

\[\begin{aligned}f_i &=\min_{1\le j < i} \{ f_j+s_{i-1}-s_j+ (h_i-h_j)^2\} \\&= \min_{1\le j < i} \{ f_j+s_{i-1}-s_j+ h_i^2+h_j^2-2h_ih_j\} \\&= s_{i-1}+h_i^2+\min_{1\le j < i} \{ f_j-s_j+ h_j^2-2h_ih_j\}\end{aligned} \]

是不是很想斜率优化？令 \(h_j\) 为横坐标，\(f_j-s_j+h_j^2\) 为纵坐标，维护凸包，不就没了？

很遗憾，\(h\) 不有序，你无法线性维护凸包。

然后怎么办？

第一种：使用 \(\mathrm{cdq}\) 分治。

但是我讨厌离线，于是我们选择李超线段树！！！

我们在李超线段树中插入一堆 \(y=-2h_jx+f_j-s_j+h_j^2\) 的直线，然后维护单点在何处最小。时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

代码待会再补 /youl