CF1487D Pythagorean Triples 题解

一看就是推式子。

由题得

\[\begin{cases}c^2=a^2+b^2\\c=a^2-b\end{cases} \]

将下面的式子代入上式得

\[(a^2-b)^2=a^2+b^2 \]

拆开，抵消，移项

\[a^4-2a^2b-a^2=0 \]

两边约去 \(a^2\)

\[a^2-1=2b \]

\[a^2=2b+1 \]

因为 \(b \in N\)，所以 \(a\) 是奇数。

再次代入得

\[c=a^2-b=2b+1-b=b+1 \]

所以对于每一个奇数 \(a\)，都有且仅有一对 \((b,c)\) 满足条件。于是问题转化为 \(a\) 的数量。（当然，容易发现 \(a=1\) 时除外。）

由于 \(1 \le a \le b \le c = b+1 \le n\)，所以 \(b\le n-1\)。

然后又因为 \(a^2=2b+1 \le 2n-1\)，所以 \(a\le \sqrt{2n-1}\).。

又因为 \(a\) 是奇数且不为 \(1\)，所以 \(a\) 的数量为 \(\dfrac{\sqrt{2n-1} -1}2\)。

个人觉得这题比 C 水。

关键代码：

long long n;cin>>n;
cout<<((int)sqrt(2*n-1)-1)/2<<endl;