题目
设P(x0,y0)是椭圆C:x2b2 +y2b2=1 (a>b>0)上一点,且∠F1PF2=θ.求PF1*PF2取值范围。
失败的思路
读题读一半的屑准备用基本不等式,发现只能算个最大值a2
做法一 焦半径公式
PF1*PF2 =(a+ex0)(a−ex0)=a2−c2x20a2
是个普普通通的二次式
注意到x0∈[0,a]
那么PF1*PF2∈[b2,a2]
做法二 余弦定理
设PF1=m,PF2=n.S△PF1F2=12mnsinθ
{m+n=2a(1)4c2=m2+n2−2mncosθ(2)
由(1)得
4a2=m2+n2+2mn (3)
与(2)联立得
2b2=mn(1+cosθ) 即mn=2b21+cosθ (4)
显然cosθ ∈ [ a2−2c2a2 ,1 ]
(θ取最大值时,即点P为短轴端点时,cosθ取最小值)
代入(4)得
mn∈[b2,a2]
写在后面的吐槽
数学公式不会写然后字时大时小,一篇排版超烂的文章写了半天……救救孩子吧
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