椭圆PF1✖️PF2的范围
题目
设P\((x_0,y_0)\)是椭圆C：$x^2 \over b^2 $ \(+ {y^2 \over b^2}\)\(=1\) \((a>b>0)\)上一点,且\(\angle F_1PF_2\)\(=\theta.\)求\(PF_1\)*\(PF_2\)取值范围。
失败的思路
读题读一半的屑准备用基本不等式，发现只能算个最大值\(a^2\)
做法一 焦半径公式
\(PF_1\)*\(PF_2\) \(=(a+ex_0)(a-ex_0)=a^2-\)\({c^2 x^2_0}\over a^2\)
是个普普通通的二次式
注意到\(x_0\)\(\in\)\([0,a]\)
那么\(PF_1\)*\(PF_2\)\(\in\)\([b^2,a^2]\)
做法二 余弦定理
设\(PF_1=m,PF_2=n.\)\(S_{\triangle PF_1F_2}=\)\(1\over2\)\(mnsin\theta\)
\[ \left\{
\begin{array}{c}
m+n=2a &（1）\\
4c^2=m^2+n^2-2mncos\theta &（2）\\
\end{array}
\right.
\]
