数列

起因

坐车两小时准备来道简单的数列题,然后发现不会做()
时隔两个月再回来看看((

- 题目

设数列{an}的前n项和Sn=pn2+qn.若a12+a32 10,求a3+a4+a5的最大值,并求此时pq的值.

解法

读题思路

a12+a32=10时,a4最大,此时a3+a4+a5最大,pq的值易求


法一:线性规划

a1=x,a3=y,则a4=-12x+32y.

a12+a32=10可知,x2= y2

a4=-12x+32y=z即x-3y+2z=0

由线性规划知直线与圆相切时,a4最大

|2z|10=10可知|z|=a4max=5


法二:二次函数

易知数列为等差数列,设公差为d

{a12+(a1+2d)2=10a4=a1+3d

整理得5d24a4d+a425=0
Δ=16a4220(a425)0
a45a4max=5


法三:求导

易知数列为等差数列,设公差为d
(a1+3d3d)2+(a1+3dd)210=0
(a1+3d)24(a1+3d)d=5d25=0
a4=2d+5d2
a4=2d5d2=0
解得d=2,a4=5
此时a4取极大值也是最大值


法四:三角换元

{a1=rcosαa3=rsinα

(0<r10)
a4=-12a1+32a3=12r(3sinαcosα)=102rsin(α+ϕ)102×10=5


求p、q

易得p=1,q=-2

posted @   media-naranja  阅读(30)  评论(1编辑  收藏  举报
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