数列

起因

坐车两小时准备来道简单的数列题，然后发现不会做（）
时隔两个月再回来看看（（

- 题目

设数列｛\(a_n\)｝的前n项和\(S_n=pn^2+qn\).若\(a_1^2\)+\(a_3^2\)\(\leq\) 10,求\(a_3\)+\(a_4\)+\(a_5\)的最大值，并求此时\(p\)、\(q\)的值.

解法

读题思路

当\(a_1^2\)+\(a_3^2\)=10时，\(a_4\)最大，此时\(a_3\)+\(a_4\)+\(a_5\)最大，\(p\)、\(q\)的值易求

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法一：线性规划

令\(a_1\)=x,\(a_3\)=y,则\(a_4\)=-\(1\over2\)x+\(3\over2\)y.

由\(a_1^2\)+\(a_3^2\)=10可知，$x^2 $= \(y^2\)

令\(a_4\)=-\(1\over2\)x+\(3\over2\)y=z即x-3y+2z=0

由线性规划知直线与圆相切时，\(a_4\)最大

由\(|2z|\over\sqrt{10}\)=\(\sqrt{10}\)可知|z|=\(a_{4_{max}}\)=5

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法二：二次函数

易知数列为等差数列，设公差为d

\[ \left\{ \begin{array}{c} a_1^2+(a_1+2d)^2=10 \\ a_4=a_1+3d \\ \end{array} \right. \]

整理得\(5d^2-4a_4d+a_4^2-5=0\)
\(\Delta=16a_4^2-20(a_4^2-5)\ge0\)
\(a_4\le5\)即\(a_{4_{max}}\)=5

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法三：求导

易知数列为等差数列，设公差为d
由\((a_1+3d-3d)^2+(a_1+3d-d)^2-10=0\)
得\((a_1+3d)^2-4(a_1+3d)d=5d^2-5=0\)
得\(a_4=2d+\sqrt{5-d^2}\)
令\(a_4'=2-{d\over\sqrt{5-d^2}}=0\)
解得d=2,\(a_4\)=5
此时\(a_4\)取极大值也是最大值

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法四：三角换元

令

\[ \left\{ \begin{array}{c} a_1=rcos\alpha \\ a_3=rsin\alpha \\ \end{array} \right. \]

$ (0<r\le \sqrt{10}) $
\(a_4=\)-\(1\over2\)\(a_1\)+\(3\over2\)\(a_3\)\(=\)\(1\over2\)\(r(3sin\alpha-cos\alpha)=\)\(\sqrt{10}\over2\)\(rsin(\alpha+\phi)\)\(\le\)\(\sqrt{10}\over2\)\(\times\sqrt{10}\)\(=5\)

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求p、q

易得p=1,q=-2