起因
坐车两小时准备来道简单的数列题,然后发现不会做()
时隔两个月再回来看看((
- 题目
设数列{an}的前n项和Sn=pn2+qn.若a21+a23≤ 10,求a3+a4+a5的最大值,并求此时p、q的值.
解法
读题思路
当a21+a23=10时,a4最大,此时a3+a4+a5最大,p、q的值易求
法一:线性规划
令a1=x,a3=y,则a4=-12x+32y.
由a21+a23=10可知,x2= y2
令a4=-12x+32y=z即x-3y+2z=0
由线性规划知直线与圆相切时,a4最大
由|2z|√10=√10可知|z|=a4max=5
法二:二次函数
易知数列为等差数列,设公差为d
{a21+(a1+2d)2=10a4=a1+3d
整理得5d2−4a4d+a24−5=0
Δ=16a24−20(a24−5)≥0
a4≤5即a4max=5
法三:求导
易知数列为等差数列,设公差为d
由(a1+3d−3d)2+(a1+3d−d)2−10=0
得(a1+3d)2−4(a1+3d)d=5d2−5=0
得a4=2d+√5−d2
令a′4=2−d√5−d2=0
解得d=2,a4=5
此时a4取极大值也是最大值
法四:三角换元
令
{a1=rcosαa3=rsinα
(0<r≤√10)
a4=-12a1+32a3=12r(3sinα−cosα)=√102rsin(α+ϕ)≤√102×√10=5
求p、q
易得p=1,q=-2
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