D - Sigma Function

D - Sigma Function

题目链接：https://vjudge.net/problem/LightOJ-1336#author=Amove

题目大意：

求和运算是一种有趣的操作，它来源于古希腊字母σ，现在我们来求一个数字的所有因子之和。例如σ(24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60.对于小的数字求和是非常的简单，但是对于大数字求和就比较困难了。现在给你一个n，你需要求出有多少个[ 1 , n ]区间内的数字σ是偶数。
注：一个数字的σ指这个数的所有因子之和。

解题思路：

因子和公式：$\left(q 1^{\wedge} 0+q 1^{\wedge} 1 \ldots . . q 1^{\wedge} a 1\right)^{\star}\left(q 2^{\wedge} 0+q 2^{\wedge} 1 \ldots . . q 2^{\wedge} a 2\right)^{\star} \ldots \ldots .^{\star}\left(q n^{\wedge} 0+q n^{\wedge} 1 \ldots . . q n^{\wedge} a n\right)$

由公式可以知道，当因子和为偶数时只需要除了2以外其中任何一项质因子因子的个数为奇数，则因子和为偶数，也就是说只有除了2以外所有的质因子个数都为偶数时，因子和才为奇数，那么质因子都为偶数个，除了2以外的质因子相乘得到的就一定是个平方数。所以，首先遍历2的个数，在遍历平方，需要注意的是得到的平方数不能被2整出，如果能整除就说明相乘的质因子中含有2，也就会造成重复计算。

代码：

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define debug(a) cout<<#a<<":"<<a<<endl;
typedef long long ll;
const ll INF=1e9+7;
const ll N=1e6+7;
const ll mod=1e9+7;
ll maxn,minn;
ll T,n;

ll ksm(ll a, ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1; 
    }
    return ans;
} 

int main(){
    ll a,b,j,num,t=0;
    cin>>T;
    while(T--){
        t++;
        num=0;
        scanf("%lld",&a);
        for(ll i=0;i<=60;i++){
            b=ksm(2,i);
            j=3;
            if(a>=b){
                num++;
            }
            else{
                break;
            }
            while(a>=(b*j*j)){
                if(j%2!=0){
                    num++;
                }
                j++;
            }
        }
        printf("Case %lld: %lld\n",t,(a-num));
    }


    return 0;
}