背包问题模板

1. 01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n, m;
int dp[maxn];
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m; j >= v; j--)//体积从大到小枚举
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w);
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

 

2. 完全背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品可以使用无限次。第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n, m;
int dp[maxn];
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = v; j <= m; j++)//体积从小到大枚举
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w);
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

 

3. 多重背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[1000];
int v[1000];
int m[1000];
int dp[1000];
int main(){
    int a,W,n;
    cin>>a;
    while(a--){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        cin>>W>>n;
        for(int i=0;i<n;i++){
            cin>>w[i]>>v[i]>>m[i];
        }
        for (int i=0;i<n;i ++){
            int num =m[i];
            for (int k=1; num >0;k<<=1){
                int mul =min (k,num );
                for (int j=W;j >=w[i]* mul;j --){
                    dp[j]= max (dp[j],dp[j-w[i]* mul ]+v[i]* mul );
                }
            num -= mul;
            }
        }
        cout<<dp[W]<<endl;
    }
    return 0;
}

 

单调队列优化：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,l,r;
const int N=1e5+7;
int dp[N],q[N],num[N];
 
int main(){
    int v,w,c;
    scanf("%d%d",&n,&m);            
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&v,&w,&c);   //v 体积  w  价值  c 数量
        if(c>m/v) c=m/v;
        for(int j=0;j<v;j++){
            l=r=1;
            for(int k=0;k<=(m-j)/v;k++){
                int tmp=dp[k*v+j]-k*w;
                while(l<r&&q[r-1]<=tmp) r--;
                q[r]=tmp;
                num[r++]=k;
                while(l<r&&k-num[l]>c) l++;         
                dp[k*v+j]=max(dp[k*v+j],q[l]+k*w);  
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[m]);

    return 0;
}