求解逆元

蒙哥马利快速模：

这个算法的局限性很大,只有在模数p 是质数的情况下才可以使用。
首先我们设inv(a)是a的逆元那么根据定义, inv(a)∗a≡1(mod p)再根据费马小定理 a^(p−1)≡1%p , 易得 inv(a)∗a≡a^(p−1)(mod p) 
移项,得: inv(a)≡a^(p−2) 
于是我们得到了快速幂模算法的一个前提条件: inv(a)≡a^(p−2)(mod p)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; 
const int mod=1e9+7;//质数 
ll quick_pow(ll x,int p){
   ll res=1;
   while(p){
       if(p&1) res=(res*x)%mod;
       x=(x*x)%mod;
       p>>=1;
   }
   return res;
}
ll inv(ll a){
    ll inv_a=quick_pow(a,mod-2);
    return inv_a;
}
int main(){
    ll a;
    cin>>a;
    cout<<inv(a)<<endl;
    return 0;
}

 

扩展欧几里得求逆元：

证明
考虑两个方程:
a*x1+b*y1=gcd(a,b),b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b)
由辗转相除法可得到gcd(a,b)= gcd(b,a%b)
从而得到a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2
即a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)*y2=a*y2+b*(x2-(a/b)*y2)
所以x1=y2,y1=x2-(a/b)*y2.

当a与b互质时gcd(a,b)=1,即a*x+p*y=1.方程式对m取模，(a*x) mod (p)=1 mod p.

所以a的逆元为(x+p)%p.

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int p=9973;
ll extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll gcd=extgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return gcd;
}

int main(){
    ll t,a,b,x,y;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>a>>b;
        extgcd(b,p,x,y);
        cout<<a*(x%p+p)%p<<endl;
    }
    return 0;
}

 

递推求解逆元：

求1 到n逆元表
这个比较适合逆元比较多的时候。比如数据范围在1e5内，随机的1e5内的个数的逆元，所以是所有逆元都得求反而会快点。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6;
ll inv[N];
void xian_inv(int n,int p){
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000;i++){
        inv[i]=(ll)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
    }
}
int main(){
    int a;
    xian_inv(10000,9973);
    cin>>a;
    cout<<inv[a]<<endl;
    return 0;
}