高精度计算

高精度加法：

算法复杂度O(n)

#include<iostream>  
#include<cstring>  
#include <string>
#include<algorithm>  
using namespace std;  
const int L=110;  
string add(string a,string b){//只限两个非负整数相加   
    string ans;  
    int na[L]={0},nb[L]={0};  
    int la=a.size(),lb=b.size();  
    for(int i=0;i<la;i++) 
        na[la-1-i]=a[i]-'0';  
    for(int i=0;i<lb;i++) 
        nb[lb-1-i]=b[i]-'0';  
    int lmax=la>lb?la:lb;  
    for(int i=0;i<lmax;i++) 
        na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;  
    if(na[lmax]) 
        lmax++;  
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) 
        ans+=na[i]+'0';  
    return ans;  
}  
int main(){  
    string a,b;  
    while(cin>>a>>b) cout<<add(a,b)<<endl;  
    return 0;  
}

 

高精度减法：

算法复杂度O(n)

#include<iostream>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
const int L=110;  
string sub(string a,string b){//只限大的非负整数减小的非负整数    
    string ans;  
    int na[L]={0},nb[L]={0};  
    int la=a.size(),lb=b.size();  
    for(int i=0;i<la;i++)
        na[la-1-i]=a[i]-'0';  
    for(int i=0;i<lb;i++)
        nb[lb-1-i]=b[i]-'0';  
    int lmax=la>lb?la:lb;  
    for(int i=0;i<lmax;i++){  
        na[i]-=nb[i];  
        if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--;  
    }  
    while(!na[--lmax]&&lmax>0);
    lmax++;  
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--)
        ans+=na[i]+'0';  
    return ans;  
}  
int main()  {  
    string a,b;  
    while(cin>>a>>b) 
        cout<<sub(a,b)<<endl;  
    return 0;  
}

 

高精度乘法 :

算法复杂度O(n*n)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int L=5000;
string mul(string a,string b){//高精度乘法a,b,均为非负整数
    string s;
    int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积
    fill(na,na+L,0);
    fill(nb,nb+L,0);
    fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0
    for(int i=La-1;i>=0;i--) 
        na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数
    for(int i=Lb-1;i>=0;i--) 
        nb[Lb-i]=b[i]-'0';
    for(int i=1;i<=La;i++)
        for(int j=1;j<=Lb;j++)
            nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位）
    for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
        nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位
    if(nc[La+Lb]) 
        s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0
    for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
        s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串
    return s;
}
int main()
{
    string a,b;
    while(cin>>a>>b){
        if(a=="0"||b=="0")
            cout<<"0"<<"\n";
        else
            cout<<mul(a,b)<<"\n";
    }
    return 0;
}

 

算法复杂度O(nlogn):

#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <algorithm>  
#include <cstring>  
#include <cmath>  
#include <map>  
#include <queue>  
#include <set>  
#include <vector>  
using namespace std;  
#define L(x) (1 << (x))  
const double PI = acos(-1.0);  
const int Maxn = 133015;  
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];  
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];  
int sum[Maxn];  
int x1[Maxn],x2[Maxn];  
int revv(int x, int bits){  
    int ret = 0;  
    for (int i = 0; i < bits; i++){  
        ret <<= 1;  
        ret |= x & 1;  
        x >>= 1;  
    }  
    return ret;  
}  
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev){  
    int bits = 0;  
    while (1 << bits < n) 
        ++bits;  
    for (int i = 0; i < n; i++){  
        int j = revv(i, bits);  
        if (i < j)  
            swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);  
    }  
    for (int len = 2; len <= n; len <<= 1){  
        int half = len >> 1;  
        double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);  
        if (rev) wmy = -wmy;  
        for (int i = 0; i < n; i += len){  
            double wx = 1, wy = 0;  
            for (int j = 0; j < half; j++){  
                double cx = a[i + j], cy = b[i + j];  
                double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];  
                double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;  
                a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;  
                a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;  
                double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;  
                wx = wnx, wy = wny;  
            }  
        }  
    }  
    if (rev)  
    {  
        for (int i = 0; i < n; i++)  
            a[i] /= n, b[i] /= n;  
    }  
}  
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[]){  
    int len = max(na, nb), ln;  
    for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);  
    len=L(++ln);  
    for (int i = 0; i < len ; ++i){  
        if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;  
        else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;  
    }  
    fft(ax, ay, len, 0);  
    for (int i = 0; i < len; ++i){  
        if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;  
        else bx[i] = b[i], by[i] = 0;  
    }  
    fft(bx, by, len, 0);  
    for (int i = 0; i < len; ++i){  
        double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];  
        double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];  
        ax[i] = cx, ay[i] = cy;  
    }  
    fft(ax, ay, len, 1);  
    for (int i = 0; i < len; ++i)  
        ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);  
    return len;  
}  
string mul(string sa,string sb){  
    int l1,l2,l;  
    int i;  
    string ans;  
    memset(sum, 0, sizeof(sum));  
    l1 = sa.size();  
    l2 = sb.size();  
    for(i = 0; i < l1; i++)  
        x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';  
    for(i = 0; i < l2; i++)  
        x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';  
    l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);  
    for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++){ // 进位   
        sum[i + 1] += sum[i] / 10;  
        sum[i] %= 10;  
    }  
    l = i;  
    while(sum[l] <= 0 && l>0)    l--; // 检索最高位  
    for(i = l; i >= 0; i--)    ans+=sum[i] + '0'; // 倒序输出  
    return ans;  
}  
int main()  
{  
    cin.sync_with_stdio(false);  
    string a,b;  
    while(cin>>a>>b) 
        cout<<mul(a,b)<<endl;  
    return 0;  
}

 

高精度乘单精度：

算法复杂度O(n)

#include<iostream>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
const int L=100005;  
int na[L];  
string mul(string a,int b){//高精度a乘单精度b   
    string ans;  
    int La=a.size();
    memset(na,0,sizeof(La));
    for(int i=La-1;i>=0;i--) 
        na[La-i-1]=a[i]-'0';  
    int w=0;  
    for(int i=0;i<La;i++) 
        na[i]=na[i]*b+w,w=na[i]/10,na[i]=na[i]%10;  
    while(w) 
        na[La++]=w%10,w/=10;  
    La--;  
    while(La>=0) ans+=na[La--]+'0';  
    return ans;  
}  
int main()  
{  
    string a;  
    int b;  
    while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;  
    return 0;  
}

 

高精度除法：

算法复杂度O(n*n)

#include<iostream>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
const int L=110;  
int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)  
{  
    if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1  
    if(La==Lb)  
    {  
        for(int i=La-1;i>=0;i--)  
            if(a[i]>b[i]) break;  
            else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1  
  
    }  
    for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法  
    {  
        a[i]-=b[i];  
        if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;  
    }  
    for(int i=La-1;i>=0;i--)  
        if(a[i]) return i+1;//返回差的位数  
    return 0;//返回差的位数  
  
}  
string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数  
{  
    string s,v;//s存商,v存余数  
     int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度  
     fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0  
     for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';  
     for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';  
     if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {  
            //cout<<0<<endl;  
     return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数  
     int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差  
     for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍  
        if(i>=t) b[i]=b[i-t];  
        else b[i]=0;  
     Lb=La;  
     for(int j=0;j<=t;j++)  
     {  
         int temp;  
         while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减  
         {  
             La=temp;  
             r[t-j]++;  
         }  
     }  
     for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位  
     while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的  
     while(i>=0) s+=r[i--]+'0';  
     //cout<<s<<endl;  
     i=tp;  
     while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span>  
     while(i>=0) v+=a[i--]+'0';  
     if(v.empty()) v="0";  
     //cout<<v<<endl;  
     if(nn==1) return s;  
     if(nn==2) return v;  
}  
int main()  
{  
    string a,b;  
    while(cin>>a>>b) cout<<div(a,b,1)<<endl;  
    return 0;  
}

 

高精度除单精度：

算法复杂度O(n)

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
string div(string a,int b)//高精度a除以单精度b  
{  
    string r,ans;  
    int d=0;  
    if(a=="0") return a;//特判  
    for(int i=0;i<a.size();i++)  
    {  
            r+=(d*10+a[i]-'0')/b+'0';//求出商  
            d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出余数  
    }  
    int p=0;  
    for(int i=0;i<r.size();i++)  
    if(r[i]!='0') {p=i;break;}  
    return r.substr(p);  
}  
int main()  
{  
    string a;  
    int b;  
    while(cin>>a>>b)  
    {  
        cout<<div(a,b)<<endl;  
    }  
    return 0;  
}

 

高精度对单精度取模：

算法复杂度O(n)

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
int mod(string a,int b)//高精度a除以单精度b  
{  
    int d=0;  
    for(int i=0;i<a.size();i++) d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出余数  
    return d;  
}  
int main()  
{  
    string a;  
    int b;  
    while(cin>>a>>b)  
    {  
        cout<<mod(a,b)<<endl;  
    }  
    return 0;  
}

 

高精度阶乘：

算法复杂度O(n*n)

#include<iostream>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
const int L=100005;  
int a[L];  
string fac(int n)  
{  
    string ans;  
    if(n==0) return "1";  
    fill(a,a+L,0);  
    int s=0,m=n;  
    while(m) a[++s]=m%10,m/=10;  
    for(int i=n-1;i>=2;i--)  
    {  
        int w=0;  
        for(int j=1;j<=s;j++) a[j]=a[j]*i+w,w=a[j]/10,a[j]=a[j]%10;  
        while(w) a[++s]=w%10,w/=10;  
    }  
    while(!a[s]) s--;  
    while(s>=1) ans+=a[s--]+'0';  
    return ans;  
}  
int main()  
{  
    int n;  
    while(cin>>n) cout<<fac(n)<<endl;  
    return 0;  
}

 

高精度幂

算法复杂度O(nlognlogm)

#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <algorithm>  
#include <cstring>  
#include <cmath>  
#include <map>  
#include <queue>  
#include <set>  
#include <vector>  
using namespace std;  
#define L(x) (1 << (x))  
const double PI = acos(-1.0);  
const int Maxn = 133015;  
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];  
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];  
int sum[Maxn];  
int x1[Maxn],x2[Maxn];  
int revv(int x, int bits)  
{  
    int ret = 0;  
    for (int i = 0; i < bits; i++)  
    {  
        ret <<= 1;  
        ret |= x & 1;  
        x >>= 1;  
    }  
    return ret;  
}  
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)  
{  
    int bits = 0;  
    while (1 << bits < n) ++bits;  
    for (int i = 0; i < n; i++)  
    {  
        int j = revv(i, bits);  
        if (i < j)  
            swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);  
    }  
    for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)  
    {  
        int half = len >> 1;  
        double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);  
        if (rev) wmy = -wmy;  
        for (int i = 0; i < n; i += len)  
        {  
            double wx = 1, wy = 0;  
            for (int j = 0; j < half; j++)  
            {  
                double cx = a[i + j], cy = b[i + j];  
                double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];  
                double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;  
                a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;  
                a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;  
                double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;  
                wx = wnx, wy = wny;  
            }  
        }  
    }  
    if (rev)  
    {  
        for (int i = 0; i < n; i++)  
            a[i] /= n, b[i] /= n;  
    }  
}  
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[])  
{  
    int len = max(na, nb), ln;  
    for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);  
    len=L(++ln);  
    for (int i = 0; i < len ; ++i)  
    {  
        if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;  
        else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;  
    }  
    fft(ax, ay, len, 0);  
    for (int i = 0; i < len; ++i)  
    {  
        if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;  
        else bx[i] = b[i], by[i] = 0;  
    }  
    fft(bx, by, len, 0);  
    for (int i = 0; i < len; ++i)  
    {  
        double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];  
        double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];  
        ax[i] = cx, ay[i] = cy;  
    }  
    fft(ax, ay, len, 1);  
    for (int i = 0; i < len; ++i)  
        ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);  
    return len;  
}  
string mul(string sa,string sb)  
{  
    int l1,l2,l;  
    int i;  
    string ans;  
    memset(sum, 0, sizeof(sum));  
    l1 = sa.size();  
    l2 = sb.size();  
    for(i = 0; i < l1; i++)  
        x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';  
    for(i = 0; i < l2; i++)  
        x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';  
    l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);  
    for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 进位  
    {  
        sum[i + 1] += sum[i] / 10;  
        sum[i] %= 10;  
    }  
    l = i;  
    while(sum[l] <= 0 && l>0)    l--; // 检索最高位  
    for(i = l; i >= 0; i--)    ans+=sum[i] + '0'; // 倒序输出  
    return ans;  
}  
string Pow(string a,int n)  
{  
    if(n==1) return a;  
    if(n&1) return mul(Pow(a,n-1),a);  
    string ans=Pow(a,n/2);  
    return mul(ans,ans);  
}  
int main()  
{  
    cin.sync_with_stdio(false);  
    string a;  
    int b;  
    while(cin>>a>>b) cout<<Pow(a,b)<<endl;  
    return 0;  
}

 

高精度GCD

算法复杂度无法估计

#include<iostream>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
const int L=110;  
string add(string a,string b)  
{  
    string ans;  
    int na[L]={0},nb[L]={0};  
    int la=a.size(),lb=b.size();  
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';  
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';  
    int lmax=la>lb?la:lb;  
    for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;  
    if(na[lmax]) lmax++;  
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';  
    return ans;  
}  
string mul(string a,string b)  
{  
    string s;  
    int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积  
    fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0  
    for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数  
    for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';  
    for(int i=1;i<=La;i++)  
        for(int j=1;j<=Lb;j++)  
        nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位）  
    for(int i=1;i<=La+Lb;i++)  
        nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位  
    if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0  
    for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)  
        s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串  
    return s;  
}  
int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)  
{  
    if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1  
    if(La==Lb)  
    {  
        for(int i=La-1;i>=0;i--)  
            if(a[i]>b[i]) break;  
            else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1  
  
    }  
    for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法  
    {  
        a[i]-=b[i];  
        if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;  
    }  
    for(int i=La-1;i>=0;i--)  
        if(a[i]) return i+1;//返回差的位数  
    return 0;//返回差的位数  
  
}  
string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数  
{  
    string s,v;//s存商,v存余数  
     int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度  
     fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0  
     for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';  
     for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';  
     if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {  
            //cout<<0<<endl;  
     return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数  
     int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差  
     for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍  
        if(i>=t) b[i]=b[i-t];  
        else b[i]=0;  
     Lb=La;  
     for(int j=0;j<=t;j++)  
     {  
         int temp;  
         while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减  
         {  
             La=temp;  
             r[t-j]++;  
         }  
     }  
     for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位  
     while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的  
     while(i>=0) s+=r[i--]+'0';  
     //cout<<s<<endl;  
     i=tp;  
     while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span>  
     while(i>=0) v+=a[i--]+'0';  
     if(v.empty()) v="0";  
     //cout<<v<<endl;  
     if(nn==1) return s;  
     if(nn==2) return v;  
}  
bool judge(string s)//判断s是否为全0串  
{  
    for(int i=0;i<s.size();i++)  
        if(s[i]!='0') return false;  
    return true;  
}  
string gcd(string a,string b)//求最大公约数  
{  
    string t;  
    while(!judge(b))//如果余数不为0，继续除  
    {  
        t=a;//保存被除数的值  
        a=b;//用除数替换被除数  
        b=div(t,b,2);//用余数替换除数  
    }  
    return a;  
}  
int main()  
{  
    cin.sync_with_stdio(false);  
    string a,b;  
    while(cin>>a>>b) cout<<gcd(a,b)<<endl;  
    return 0;  
}

 

高精度进制转换

算法复杂度O(n*n)

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
//将字符串表示的10进制大整数转换为m进制的大整数  
//并返回m进制大整数的字符串  
bool judge(string s)//判断串是否为全零串  
{  
    for(int i=0;i<s.size();i++)  
        if(s[i]!='0') return 1;  
    return 0;  
}  
string solve(string s,int n,int m)//n进制转m进制只限0-9进制，若涉及带字母的进制，稍作修改即可  
{  
    string r,ans;  
    int d=0;  
    if(!judge(s)) return "0";//特判  
    while(judge(s))//被除数不为0则继续  
    {  
        for(int i=0;i<s.size();i++)  
        {  
            r+=(d*n+s[i]-'0')/m+'0';//求出商  
            d=(d*n+(s[i]-'0'))%m;//求出余数  
        }  
       s=r;//把商赋给下一次的被除数  
       r="";//把商清空  
        ans+=d+'0';//加上进制转换后数字  
        d=0;//清空余数  
    }  
    reverse(ans.begin(),ans.end());//倒置下  
    return ans;  
}  
int main()  
{  
    string s;  
    while(cin>>s)  
    {  
        cout<<solve(s,10,7)<<endl;  
    }  
    return 0;  
}

 

高精度平方根

算法复杂度O(n*n*n)

#include<iostream>  
#include<cstring>  
#include<cstdio>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
const int L=2015;  
string add(string a,string b)//只限两个非负整数相加  
{  
    string ans;  
    int na[L]={0},nb[L]={0};  
    int la=a.size(),lb=b.size();  
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';  
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';  
    int lmax=la>lb?la:lb;  
    for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;  
    if(na[lmax]) lmax++;  
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';  
    return ans;  
}  
string sub(string a,string b)//只限大的非负整数减小的非负整数  
{  
    string ans;  
    int na[L]={0},nb[L]={0};  
    int la=a.size(),lb=b.size();  
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';  
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';  
    int lmax=la>lb?la:lb;  
    for(int i=0;i<lmax;i++)  
    {  
        na[i]-=nb[i];  
        if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--;  
    }  
    while(!na[--lmax]&&lmax>0)  ;lmax++;  
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';  
    return ans;  
}  
string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均为非负整数  
{  
    string s;  
    int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积  
    fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0  
    for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数  
    for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';  
    for(int i=1;i<=La;i++)  
        for(int j=1;j<=Lb;j++)  
        nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位）  
    for(int i=1;i<=La+Lb;i++)  
        nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位  
    if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0  
    for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)  
        s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串  
    return s;  
}  
int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)  
{  
    if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1  
    if(La==Lb)  
    {  
        for(int i=La-1;i>=0;i--)  
            if(a[i]>b[i]) break;  
            else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1  
  
    }  
    for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法  
    {  
        a[i]-=b[i];  
        if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;  
    }  
    for(int i=La-1;i>=0;i--)  
        if(a[i]) return i+1;//返回差的位数  
    return 0;//返回差的位数  
  
}  
string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数  
{  
    string s,v;//s存商,v存余数  
     int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度  
     fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0  
     for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';  
     for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';  
     if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {  
            //cout<<0<<endl;  
     return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数  
     int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差  
     for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍  
        if(i>=t) b[i]=b[i-t];  
        else b[i]=0;  
     Lb=La;  
     for(int j=0;j<=t;j++)  
     {  
         int temp;  
         while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减  
         {  
             La=temp;  
             r[t-j]++;  
         }  
     }  
     for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位  
     while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的  
     while(i>=0) s+=r[i--]+'0';  
     //cout<<s<<endl;  
     i=tp;  
     while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span>  
     while(i>=0) v+=a[i--]+'0';  
     if(v.empty()) v="0";  
     //cout<<v<<endl;  
     if(nn==1) return s;  
     if(nn==2) return v;  
}  
bool cmp(string a,string b)  
{  
    if(a.size()<b.size()) return 1;//a小于等于b返回真  
    if(a.size()==b.size()&&a<=b) return 1;  
    return 0;  
}  
string BigInterSqrt(string n)  
{  
    string l="1",r=n,mid,ans;  
    while(cmp(l,r))  
    {  
        mid=div(add(l,r),"2",1);  
        if(cmp(mul(mid,mid),n)) ans=mid,l=add(mid,"1");  
        else r=sub(mid,"1");  
    }  
    return ans;  
}  
string DeletePreZero(string s)  
{  
    int i;  
    for(i=0;i<s.size();i++)  
        if(s[i]!='0') break;  
    return s.substr(i);  
}  
int main()  
{  
     //freopen("in.txt","r",stdin);  
   //  freopen("out.txt","w",stdout);  
    string n;  
    int t;  
    cin>>t;  
    while(t--)  
    {  
        cin>>n;  
        n=DeletePreZero(n);  
        cout<<BigInterSqrt(n)<<endl;  
        //cout<<BigInterSqrt(n).size()<<endl;  
    }  
    return 0;  
}