数据结构-并查集
原文地址 :http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6662911
作者:飘过的小牛
这篇地址:http://blog.csdn.net/dellaserss/article/details/7724401
来看一个实例,杭电1232畅通工程
首先在地图上给你若干个城镇,这些城镇都可以看作点,然后告诉你哪些对城镇之间是有道路直接相连的。最后要解决的是整幅图的连通性问题。比如随意给你两个点,让你判断它们是否连通,或者问你整幅图一共有几个连通分支,也就是被分成了几个互相独立的块。像畅通工程这题,问还需要修几条路,实质就是求有几个连通分支。如果是1个连通分支,说明整幅图上的点都连起来了,不用再修路了;如果是2个连通分支,则只要再修1条路,从两个分支中各选一个点,把它们连起来,那么所有的点都是连起来的了;如果是3个连通分支,则只要再修两条路……
以下面这组数据输入数据来说明
4 2 1 3 4 3
第一行告诉你,一共有4个点,2条路。下面两行告诉你,1、3之间有条路,4、3之间有条路。那么整幅图就被分成了1-3-4和2两部分。只要再加一条路,把2和其他任意一个点连起来,畅通工程就实现了,那么这个这组数据的输出结果就是1。好了,现在编程实现这个功能吧,城镇有几百个,路有不知道多少条,而且可能有回路。 这可如何是好?
我以前也不会呀,自从用了并查集之后,嗨,效果还真好!我们全家都用它!
并查集由一个整数型的数组和两个函数构成。数组pre[]记录了每个点的前导点是什么,函数find是查找,join是合并。
int pre[1000 ];
int find(int x) //查找根节点
{
int r=x;
while ( pre[r ] != r ) //返回根节点 r
r=pre[r ];
int i=x , j ;
while( i != r ) //路径压缩
{
j = pre[ i ]; // 在改变上级之前用临时变量 j 记录下他的值
pre[ i ]= r ; //把上级改为根节点
i=j;
}
return r ;
}
void join(int x,int y) //判断x y是否连通,
//如果已经连通,就不用管了 //如果不连通,就把它们所在的连通分支合并起,
{
int fx=find(x),fy=find(y);
if(fx!=fy)
pre[fx ]=fy;
}
为了解释并查集的原理,我将举一个更有爱的例子。 话说江湖上散落着各式各样的大侠,有上千个之多。他们没有什么正当职业,整天背着剑在外面走来走去,碰到和自己不是一路人的,就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气,绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”,只要是能通过朋友关系串联起来的,不管拐了多少个弯,都认为是自己人。这样一来,江湖上就形成了一个一个的群落,通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人,无论如何都无法通过朋友关系连起来,于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人,如何判断是否属于一个朋友圈呢?
我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人,作为该圈子的代表人物,这样,每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人,就可以确定敌友关系了。
但是还有问题啊,大侠们只知道自己直接的朋友是谁,很多人压根就不认识队长,要判断自己的队长是谁,只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去:“你是不是队长?你是不是队长?”这样一来,队长面子上挂不住了,而且效率太低,还有可能陷入无限循环中。于是队长下令,重新组队。队内所有人实行分等级制度,形成树状结构,我队长就是根节点,下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候,只要一层层向上问,直到最高层,就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通,至于他们是如何连通的,以及每个圈子内部的结构是怎样的,甚至队长是谁,并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队,只要不搞错敌友关系就好了。于是,门派产生了。
http://i3.6.cn/cvbnm/6f/ec/f4/1e9cfcd3def64d26ed1a49d72c1f6db9.jpg
下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000]; 这个数组,记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号(依据题意而定),pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己,那说明他就是掌门人了,查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的,比如欧阳锋,那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁?不认识!要想知道自己的掌门是谁,只能一级级查上去。 find这个函数就是找掌门用的,意义再清楚不过了(路径压缩算法先不论,后面再说)。
int find(int x) //查找我(x)的掌门
{
int r=x; //委托 r 去找掌门
while (pre[r ]!=r) //如果r的上级不是r自己(也就是说找到的大侠他不是掌门 = =)
r=pre[r ] ; // r 就接着找他的上级,直到找到掌门为止。
return r ; //掌门驾到~~~
}
再来看看join函数,就是在两个点之间连一条线,这样一来,原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办,画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的,一共只有一个pre[]数组,该如何实现呢? 还是举江湖的例子,假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物,他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太,那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架,就对他俩说:“你们两位拉拉勾,做好朋友吧。”他们看在我的面子上,同意了。这一同意可非同小可,整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化,可如何实现呀,要改动多少地方?其实非常简单,我对玄慈方丈说:“大师,麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来,两派原先的所有人员的终极boss都是师太,那还打个球啊!反正我们关心的只是连通性,门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了:“我靠,凭什么是我变成她手下呀,怎么不反过来?我抗议!”抗议无效,上天安排的,最大。反正谁加入谁效果是一样的,我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧?
void join(int x,int y) //我想让虚竹和周芷若做朋友
{
int fx=find(x),fy=find(y); //虚竹的老大是玄慈,芷若MM的老大是灭绝
if(fx!=fy) //玄慈和灭绝显然不是同一个人
pre[fx ]=fy; //方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦
}
再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的,谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样,我也完全无法预计,一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门,一共就两级结构,只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到,也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景:两个互不相识的大侠碰面了,想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级:“你是不是掌门?” 上级说:“我不是呀,我的上级是谁谁谁,你问问他看看。” 一路问下去,原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀,原来是记己人,西礼西礼,在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会,在下九营十八组仙子狗尾巴花!” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等,两位同学请留步,还有事情没完成呢!”我叫住他俩。 “哦,对了,还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长:“组长啊,我查过了,其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧,省得级别太低,以后查找掌门麻环。” “唔,有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样,查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理,所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码,看得懂很好,看不懂也没关系,直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1232畅通工程
http://poj.org/problem?id=1182食物链
总结:
1.并查集的常见种类:不带权并查集和带权并查集,通常不带权的并查集用一个线性表就可以表示父子关系,而带权并查集通常父子间的关系是复杂的,不同的权值表示不同的父子关系
一,但是这种权值在路径压缩时可以通过:
节点与父节点的关系+父节点与根节点的权值 推导出 该节点与根节点的关系(一般并查集的题目只要找到这种转移关系就成功多半)
二,在mix函数中通常调用find函数,这样找到俩个集合的各自根节点,然后合并集合(注意,此时合并节点后的森林一定不是最简单的并查集(只有两层的),后续还要路径压缩),而在带权并查集中因为新的根节点变了,所以还要更新节点与新的根的权值。
例如这个图:
(已经有A到RA的关系,和B到RB的关系,新来的B到A的关系,可以得到RB到RA的关系)
2.并查集的find函数是寻找节点的根节点,并且做路径压缩,一般有递归和非递归两种:
int find(int x) { return x == pre[x] ? x : find(pre[x]); }
int find(int x) { int root, temp; root = x; while(root != pre[root]) root = pre[root]; while(x != root) { temp = pre[x]; pre[temp] = root; x = temp; } return root; }
并查集常见题目:转自:https://agatelee.cn/2017/05/%E5%B8%A6%E6%9D%83%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86/(请移步原网站)
并查集
并查集的本质是一个森林,每棵树代表一个集合,树根为集合的代表元。支持两种操作:
- 查询一个元素所处的集合
- 合并两个集合
查询一个元素所处的集合,只需要不断寻找父节点,直到找到代表元。
合并两个集合时,先找到两个集合的代表元x
、y
,然后令fa[x]=y
即可。
优化
- 路径压缩: 沿着树根的路径找到元素
a
所在集合的代表元b
后,对这条路径上的所有元素执行fa[x]=b
- 按
rank
启发式合并:为了避免退化,对于每个集合维护一个rank
值,每次将较小的合并到较大的,相同时则rank=rank+1
void init(int n) { for(int i = 0; i < n; i++) fa[i] = i; } int find(int v) { return fa[v] = fa[v] == v ? v : find(fa[v]); } void merge(int x, int y) { int a = find(x), b = find(y); if(rank[a] < rank[b]) fa[a] = b; else { fa[b] = a; if(rank[a] == rank[b]) rank[a]++; } }
带权并查集
带权并查集即是结点存有权值信息的并查集。
当两个元素之间的关系可以量化,并且关系可以合并时,可以使用带权并查集来维护元素之间的关系。
带权并查集每个元素的权通常描述其与并查集中祖先的关系,这种关系如何合并,路径压缩时就如何压缩。
带权并查集可以推算集合内点的关系,而一般并查集只能判断属于某个集合。
POJ 1182 食物链
动物王国中有三类动物A,B,C,构成环形:A吃B,B吃C,C吃A。
现有N个动物,从1开始编号,每个动物都是A,B,C中的一种,但我们并不知道是哪一种。
用两种说法描述这N个动物的食物链关系:
1 X Y
表示X
和Y
是同类2 X Y
表示X
吃Y
给出K
句话,有些是真的,有些是假的,满足下列任一条件即为假话,否则是真话:
- 当前的话与之前的某些真话冲突
- 当前的话中
X
或Y
比N
大 - 当前的话表示
X
吃X
输出假话的总数。
分析
这个题目是有关系的集合问题,可以利用带权并查集解决。
定义两个数组fa
和rank
,fa
用来判断集合关系,rank
用来描述其与根节点的关系。因为关系满足传递性,所以可以推导出给出条件下的当前关系,在判断与之前已有关系是否矛盾。
本题的解法巧妙地利用了模运算,rank
数组用0
表示同类,1
表示当前点能吃根,2
表示当前点被根吃。
传递性推导
结点A与根关系 | 结点B与根关系 | A与B关系 |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 2 |
0 | 2 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
1 | 2 | 2 |
2 | 0 | 2 |
2 | 1 | 1 |
2 | 2 | 0 |
首先用rank
标记当前点与根的关系,然后利用传递性,得到任意两点的关系(rank[a] - rank[b]) % 3
。

结点A与根关系 | 结点B与A关系 | B与根关系 |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
0 | 2 | 2 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 2 |
1 | 2 | 0 |
2 | 0 | 2 |
2 | 1 | 0 |
2 | 2 | 1 |
并且利用路径压缩维护这种关系,rank[b] = (rank[b] + rank[a]) % 3
,通过当前点到之前根的关系,加上之前根到当前根的关系,维护当前点到根的关系。

每次添加新关系时,导致两个集合的连接,可以通过当前点的关系,反推出两个根的关系:rank[rb] = rank[a] - rank[b] + relation(b->a)
本题需要注意的是传入的relation
恰为描述的种类号减一。

#include <iostream> #include <cstring> #include <cctype> #include <cstdio> #include <string> #include <cmath> #include <algorithm> #define LL long long using namespace std; const int MAXN = 100005; const int INF = 0x3F3F3F3F; const double eps = 1e-6; const int MOD = 1e9 + 7; int fa[MAXN], _rank[MAXN]; int n, k, ans; void init(int n) { for(int i = 0; i <= n; i++) { fa[i] = i; _rank[i] = 0; } ans = 0; } int find(int x) { if(fa[x] == x) return x; else { int temp = fa[x]; fa[x] = find(fa[x]); _rank[x] = (_rank[x] + _rank[temp]) % 3; return fa[x]; } } void merge(int r, int u, int v) { int fu = find(u); int fv = find(v); if(fu != fv) { fa[fu] = fv; _rank[fu] = (_rank[v] - _rank[u] + r + 3) % 3; } } bool check(int r, int u, int v) { if(u > n || v > n) return false; if(r == 1 && u == v) // 传入的序号已减一 return false; int fu = find(u); int fv = find(v); if(fu == fv) return ((_rank[u] - _rank[v]) % 3 + 3 ) % 3 == r; else return true; } int main() { scanf("%d %d", &n, &k); init(n); int a, b, c; for(int i = 0; i < k; i++) { scanf("%d %d %d", &a, &b, &c); a --; if(check(a, b, c)) merge(a, b, c); else ans ++; } printf("%d\n", ans); return 0; }
HiHo 1515 分数调查
N名学生编号从1开始,一次测验后学校没有公布成绩,只能得到一些小道消息,例如同学X
比Y
高S
分。利用这些小道消息,能否判断某两位同学分数的高低?
输入
N
学生总数 M
消息总数 Q
询问数量M
行 X Y S
Q
行 X Y
输出
对于每个询问,输出X
比Y
高的分数,不能判断则输出-1
。
分析
同样使用带权并查集,用数组p
记录同学们的权值(与根的分数差),那么路径压缩时,p[a] = p[a] + p]
,合并时,p[rb] = p[a] + S - p[b]
。
#include <iostream> #include <cstring> #include <cctype> #include <cstdio> #include <string> #include <cmath> #include <algorithm> #define LL long long using namespace std; const int MAXN = 100005; const int INF = 0x3F3F3F3F; const double eps = 1e-6; const int MOD = 1e9 + 7; int fa[MAXN], p[MAXN]; int find(int x) { if(fa[x] == 0 || fa[x] == x) return fa[x] = x; else { int root = find(fa[x]); p[x] += p]; return fa[x] = root; } } int merge(int x, int y, int s) { int fx = find(x); int fy = find(y); if(fx != fy) { p[fy] = p[x] + s - p[y]; fa[fy] = fx; } } int main() { std::ios::sync_with_stdio(false); #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("1.txt", "r", stdin); #endif int n, m, k, a, b, c; scanf("%d %d %d", &n, &m, &k); memset(fa, 0, sizeof(fa)); memset(p, 0, sizeof(p)); for(int i = 0; i < m; i++) { scanf("%d %d %d", &a, &b, &c); merge(a, b, c); } for(int i = 0; i < k; i++) { scanf("%d %d", &a, &b); int f1 = find(a), f2 = find(b); if(f1 == f2) printf("%d\n", p[b] - p[a]); else printf("-1\n"); } return 0; }