泰勒公式及其证明

泰勒公式

引入#

我们知道，当$x\to 0$时，有

$$\sin x\sim x$$

$$e^x\sim x+1$$

然而，当$\left|x\right|$较大时，这些近似公式就变得不准确.
所以，我们就想要构造一个更精确的多项函数来近似表示一些函数.
我们假设一个函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$能近似表达为这样一个多项式

$$P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n$$

并且满足当$x\to x_0$时$P_n(x)$与$f(x)$之差仅为比$(x-x_0{)}^n$高阶的无穷小.
假设$P_n(x)$在$x_0$处的$n$阶导数都依次等于$f(x_0),f^{\prime }(x_0),f^{″}(x_0),\cdots ,f^{(n)}(x_0)$，即满足

$$f^{(n)}(x)=n!a_n+(n+1)!a_{n+1}(x-x_0)+\frac{(n+2)!}{2!}{a}_{n+2}(x-x_0{)}^2+\cdots$$

$$\therefore f^{(n)}(x_0)=n!a_n$$

$$a_n=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)$$

将这个系数代入$P_n(x)$,可以得到

$$P_n(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

泰勒公式一#

若函数$f(x)$在$x_0$处存在$n$阶导数，那么$\mathrm{\exists }U(x_0)$，对于$\mathrm{\forall }x\in U(x_0)$，有

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

$$=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

其中

$$R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$$

证明：#

记$R_n(x)=f(x)-P_n(x)$，则

$$R_n(x_0)=R_n^{\prime }(x_0)=R_n^{″}(x_0)=\cdots =R_n^{(n)}(x_0)=0$$

因为$f(x)$在$x_0$处有$n$阶导数，所以$f(x)$必在$x_0$某邻域中$(n-1)$阶可导，$R_n(x)$也在该邻域内$(n-1)$阶可导，反复运用洛必达法则，得到

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to x_0}{lim}\frac{R_n(x)}{(x-x_0{)}^n}\\ =& \underset{x\to x_0}{lim}\frac{R_n^{\prime }(x)}{n(x-x_0{)}^{n-1}}\\ =& \underset{x\to x_0}{lim}\frac{R_n^{″}(x)}{n(n-1)(x-x_0{)}^{n-2}}\\ =& \cdots \\ =& \underset{x\to x_0}{lim}\frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)}\\ =& \frac{1}{n!}\underset{x\to x_0}{lim}\frac{R_n^{(n-1)}(x)-R_n^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}\\ =& \frac{1}{n!}{R}^{(n)}(x_0)=0\end{array}$$

$$\mathbf{Q}.\mathbf{E}.\mathbf{D}$$

在此公式中，$R_n(x)$被称为佩亚诺余项，虽然它是$o((x-x_0{)}^n)$，但它不能具体估计误差大小。下面的公式就解决了这个问题.

泰勒公式二#

若函数$f(x)$在$x_0$处存在$(n+1)$阶导数，那么$\mathrm{\exists }U(x_0)$，对于$\mathrm{\forall }x\in U(x_0)$，有

$$f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

其中

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

且$\xi$是在$x_0$和$x$之间的一个数.
证明该公式需要用到两个的定理.

两个引证#

引证1:#

若函数$f(x)$满足:
(1)在$[a,b]$上连续;
(2)在$(a,b)$上可导;
(3)$f(a)=f(b)$
那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi$使得$f^{\prime }(\xi )=0$
这定理可由费马引理得出，这里不证.

引证2:#

若函数$f(x)$,$F(x)$满足:
(1)在$[a,b]$上连续;
(2)在$(a,b)$上可导
那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi$使等式

$$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$$

成立

证明：#

构造辅助函数

$$\phi (x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x)$$

注意到

$$\phi (a)=\frac{f(a)F(b)-f(b)F(a)}{F(b)-F(a)}$$

$$\phi (b)=\frac{f(a)F(b)-f(b)F(a)}{F(b)-F(a)}$$

$$\therefore \phi (a)=\phi (b)$$

所以$\phi (x)$符合罗尔定理的条件，所以必有一点$\xi \in (a,b)$，使得等式

$${\phi }^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}{F}^{\prime }(\xi )=0$$

成立.
即

$$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$$

$$\mathbf{Q}.\mathbf{E}.\mathbf{D}$$

泰勒公式二的证明#

回到泰勒公式二的证明，我们有

$$R_n(x_0)=R_n^{\prime }(x_0)=R_n^{″}(x_0)=\cdots =R_n^{(n)}(x_0)=0$$

对函数$R_n(x)$和函数$(x-x_0{)}^{n+1}$使用柯西中值定理(它们显然符合柯西中值定理的条件).

$$\frac{R_{n}x}{(x-x_0{)}^{n+1}}=\frac{R_n(x)-R_n(x_0)}{(x-x_0{)}^{n+1}-0}=\frac{R_n^{\prime }({\xi }_1)}{(n+1)({\xi }_1-x_0{)}^n}\text{(}{\xi }_1\text{在}{x}_0\text{与}x\text{之间)}$$

同理可得

$$\frac{R_n^{\prime }({\xi }_1)}{(n+1)({\xi }_1-x_0{)}^n}=\frac{R_n({\xi }_2)}{(n+1)n({\xi }_2-x_0{)}^{n-1}}\text{(}{\xi }_2\text{在}{x}_0\text{与}{\xi }_1\text{之间)}$$

一直像这样进行下去，直到

$$\frac{R_{n}x}{(x-x_0{)}^{n+1}}=\frac{R_n^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\text{(}\xi \text{在}{x}_0\text{与}x\text{之间)}$$

$$\because P_n^{(n+1)}(x)=0$$

$$\therefore R_n^{(n+1)}(\xi )=f^{(n+1)}(\xi )$$

$$\therefore R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}\text{(}\xi \text{在}{x}_0\text{与}x\text{之间)}$$

$$\mathbf{Q}.\mathbf{E}.\mathbf{D}$$