树状数组 区间update/query
【问题引入】
对于区间修改、区间查询这样的简单问题，打一大堆线段树确实是不划算，今天来介绍一下区间查询+区间修改的树状数组
【一些基础】
树状数组的基本知识不再介绍，请自行百度
我们假设sigma(r，i)表示r数组的前i项和，调用一次的复杂度是log2(i)
设原数组是a[n]，差分数组c[n]，c[i]=a[i]-a[i-1]，那么明显地a[i]=sigma(c,i)，如果想要修改a[i]到a[j](比如+v)，只需令c[i]+=v,c[j+1]-=v
【今天的主要内容】
我们可以实现NlogN时间的“单点修改，区间查询”，“区间修改，单点查询”，其实后者就是前者的一个变形，要明白树状数组的本质就是“单点修改，区间查询”
怎么实现“区间修改，区间查询”呢？
观察式子：
a[1]+a[2]+...+a[n]
= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n])
= n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]
= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n]) (式子①)
那么我们就维护一个数组c2[n]，其中c2[i] = (i-1)*c[i]
每当修改c的时候，就同步修改一下c2，这样复杂度就不会改变
那么
式子①
=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)
于是我们做到了在O(logN)的时间内完成一次区间和查询
一件很好的事情就是树状数组的常数比其他NlogN的数据结构小得多，实际上它的计算次数比NlogN要小很多，再加上它代码短，是OI中的利器
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <iostream> 4 #include <algorithm> 5 #define N 200100*8 6 using namespace std; 7 typedef long long ll; 8 int n,m; 9 ll a[N],c1[N],c2[N]; 10 struct io{ 11 char op[1<<26],*s; 12 io() 13 { 14 fread(s=op,1,1<<26,stdin); 15 } 16 inline int read() 17 { 18 register int u=0; 19 while(*s<48)s++; 20 while(*s>32)u=u*10+*s++-48; 21 return u; 22 } 23 }ip; 24 #define read ip.read 25 inline int lowbit(int x){return x&(-x);} 26 void add(ll *r,int pos, ll v) 27 { 28 for(;pos<=n;pos+=lowbit(pos))r[pos]+=v; 29 } 30 ll getsum(ll *r,int pos) 31 { 32 ll re=0; 33 for(;pos>0;pos-=lowbit(pos))re+=r[pos]; 34 return re; 35 } 36 ll sigma(int r) 37 { 38 ll sum1=r*getsum(c1,r),sum2=getsum(c2,r); 39 return sum1-sum2; 40 } 41 ll query(int x,int y) 42 { 43 return sigma(y)-sigma(x-1); 44 } 45 int flag,x,y;ll k; 46 int main() 47 { 48 n=read(); 49 for(int i=1;i<=n;i++) 50 { 51 a[i]=read(); 52 add(c1,i,a[i]-a[i-1]); 53 add(c2,i,(i-1)*(a[i]-a[i-1])); 54 }m=read(); 55 for(int i=1;i<=m;i++) 56 { 57 flag=read(); 58 if(flag==1) 59 { 60 x=read();y=read();k=read(); 61 add(c1,x,k);add(c1,y+1,-k); 62 add(c2,x,(x-1)*k);add(c2,y+1,y*(-k)); 63 } 64 else 65 { 66 x=read();y=read(); 67 printf("%lld\n",query(x,y)); 68 } 69 } 70 return 0; 71 }
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