dp-01背包

01背包问题是动态规划中的一个经典问题，通常用于解决资源分配问题。问题描述如下：

假设有一个背包，其最大承重为 $W)。\mathrm{同}\mathrm{时}，\mathrm{有}$ n ) 个物品，每个物品有一个重量 $w_i)\mathrm{和}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{价}\mathrm{值}$ v_i )。目标是选择一些物品放入背包，使得在不超过背包承重的前提下，背包中物品的总价值最大。

问题特点

• 01性质：每个物品要么选择放入背包（1），要么不放入背包（0），不能选择部分放入或多次放入。

动态规划解法

动态规划（Dynamic Programming, DP）是解决01背包问题的常用方法。我们可以通过构建一个二维数组 $dp)\mathrm{来}\mathrm{记}\mathrm{录}\mathrm{状}\mathrm{态}，\mathrm{其}\mathrm{中}$ dp[i][j] ) 表示前 $i)\mathrm{个}\mathrm{物}\mathrm{品}\mathrm{在}\mathrm{总}\mathrm{重}\mathrm{量}\mathrm{不}\mathrm{超}\mathrm{过}$ j ) 的情况下可以获得的最大价值。

状态转移方程

• 如果不选择第 $i)\mathrm{个}\mathrm{物}\mathrm{品}，\mathrm{则}$ dp[i][j] = dp[i-1][j] )。
• 如果选择第 $i)\mathrm{个}\mathrm{物}\mathrm{品}，\mathrm{则}$ dp[i][j] = dp[i-1][j-w_i] + v_i )，前提是 $ j geq w_i )。

因此，状态转移方程可以写成：
[ dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i) ]

初始化

• $dp[0][j]=0$ 表示没有物品时，无论背包容量是多少，最大价值都是0。
• $dp[i][0]=0$ 表示背包容量为0时，无论有多少物品，最大价值都是0。

填表过程

从 $i=1$ 到 $n$ 和 $j=0$ 到 $W$ 依次填表，最终 $dp[n][W]$ 就是所求的最大价值。

空间优化

由于每次计算 $dp[i][j]$只依赖于$dp[i-1][j]$和$dp[i-1][j-w_i]$，因此可以将二维数组优化为一维数组。优化后的状态转移方程为：
[dp[j]=max(dp[j],dp[j-w_i]+v_i)]

需要注意的是，在更新$dp[j])\mathrm{时}，$j)需要从$W)\mathrm{递}\mathrm{减}\mathrm{到}$w_i)，以保证每个物品只被选择一次。

代码实现

以下是01背包问题的Python代码实现：

def knapsack(W, weights, values):
    n = len(weights)
    dp = [0] * (W + 1)
    
    for i in range(n):
        for j in range(W, weights[i] - 1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i])
    
    return dp[W]

总结

01背包问题通过动态规划的方法，可以在多项式时间内解决。通过构建状态转移方程和优化空间复杂度，可以高效地求解背包问题。