数据结构和算法系列14 二叉树

歇了几天了，没有写博客。从今天开始要总结树和二叉树了。那么什么是树呢？

1，树的定义：

1）有且仅有一个特定的称为根Root的结点。

2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集，其中每个集合本身又是一个棵树，并称为根的子树。

2，树的表示方法：

最常见的是树形表示法和广义表表示法，下面是树形表示法，如图所示。

上图的广义表表示法为：(A(B(D，E)，C(F，G)))

3，常见的术语：

1) 父节点，孩子节点，兄弟节点。以上图为例，A是B和C的父节点，B和C是A的孩子节点，B和C之间就是兄弟节点了。

2) 结点的度和树的度。结点的度即结点有几个分支，比如节点A有两个分支B和C，那么结点A的度就是2，树的度即为一棵树中结点的最大度数，所以树的度也是2。

3) 有序树和无序树。如果将树中结点的子树看成是从左至右依次有序且不能交换，则称该树为有序树，否则称为无序树。

4) 森林。在上图中，如果将根节点A拿掉，那么B和C子树合并就是森林了。

5) 二叉树。二叉树是一种特殊的树。它的每个结点至多只有两棵子树。

4，二叉树的常见性质：

性质1 在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点(i>=1)

性质2 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)

性质3 满二叉树，在一棵深度为k且有2^k-1个结点。完全二叉树，若一棵深度为k的二叉树，其前k-1层是一个棵满二叉树，而最下面一层(即第k层)上的结点都集中在该层最左边的若干位置上。

满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树则不一定是满二叉树。

下面是满二叉树和完全二叉树图示。

5，二叉树的两种存储结构

1) 顺序存储

对于完全二叉树而言，可以使用顺序存储结构。但是对于一般的二叉树来说，使用存储结构会有两个缺点，一，如果不是完全二叉树，则必须将其转化为完全二叉树，二是增加了很多虚节点，浪费资源空间。

2) 链式存储

这是最常用的一种二叉树存储结构。每个结点设置三个域，即值域，左指针域和右指针域，用data表示值域，lchild和rchild分别表示指向左右子树的指针域。如图所示。

6，二叉树的常见操作

1) 插入节点

思路：首先找到要插入节点的父节点，然后确定插到父节点的左边还是右边，最后将节点插入。

2) 查找节点

思路：运用递归查找。

3) 计算树的深度

思路：分别递归左子树和右子树，取长度较大的那一个作为整个树的深度。

4) 遍历之先序遍历

思路：先访问根，然后遍历左子树，再遍历右子树

5) 遍历之中序遍历

思路：先遍历左子树，再访问根，最后遍历右子树

6) 遍历之后序遍历

思路：先遍历左子树，再遍历右子树，最后访问根

7) 遍历之层次遍历

思路：从上到小，从左到右遍历

 

下面是算法实现代码。

C#版：

namespace DS.BLL
{
    /// <summary>
    /// 描述:二叉树操作类
    /// 作者:鲁宁
    /// 时间:2013/9/5 11:36:43
    /// </summary>
    public class BinTreeBLL
    {
        //按层遍历的存储空间长度
        public static int Length { get; set; }

        /// <summary>
        /// 生成根节点
        /// </summary>
        /// <returns></returns>
        public static BinTree<string> CreateRoot()
        {
            BinTree<string> root = new BinTree<string>();
            Console.WriteLine("请输入根节点，以便生成树");
            root.Data = Console.ReadLine();
            Console.WriteLine("根节点生成成功");
            return root;
        }

        /// <summary>
        /// 插入节点
        /// </summary>
        /// <param name="tree">待操作的二叉树</param>
        /// <returns>插入节点后的二叉树</returns>
        public static BinTree<string> Insert(BinTree<string> tree)
        {
            while (true)
            { 
                //创建要插入的节点
                BinTree<string> node = new BinTree<string>();
                Console.WriteLine("请输入待插入节点的数据");
                node.Data = Console.ReadLine();

                //获取父节点数据
                Console.WriteLine("请输入待查找的父节点数据");
                var parentNodeData = Console.ReadLine();

                //确定插入方向
                Console.WriteLine("请确定要插入到父节点的：1 左侧, 2 右侧");
                Direction direction = (Direction)Enum.Parse(typeof(Direction), Console.ReadLine());

                //插入节点
                tree = InsertNode(tree,node,parentNodeData,direction);

                //todo:没有找到父节点没有提示???
                if (tree == null)
                {
                    Console.WriteLine("未找到父节点，请重新输入!");
                    continue;
                }
                Console.WriteLine("插入成功，是否继续? 1 继续，2 退出");

                if (int.Parse(Console.ReadLine()) == 1) continue;
                else break; //退出循环
            }
            return tree;
        }

        public static BinTree<T> InsertNode<T>(BinTree<T> tree, BinTree<T> node, T parentNodeData, Direction direction)
        {
            if (tree == null) return null;

            //找到父节点
            if (tree.Data.Equals(parentNodeData))
            {
                switch (direction)
                { 
                    case Direction.Left:
                        if (tree.Left != null) throw new Exception("左节点已存在，不能插入!");
                        else tree.Left = node;
                        break;
                    case Direction.Right:
                        if (tree.Right != null) throw new Exception("右节点已存在，不能插入!");
                        else tree.Right = node;
                        break;
                }
            }

            //向左子树查找父节点(递归)
            InsertNode(tree.Left,node,parentNodeData,direction);

            //向右子树查找父节点(递归)
            InsertNode(tree.Right,node,parentNodeData,direction);

            return tree;
        }

        /// <summary>
        /// 查找节点
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">节点数据类型</typeparam>
        /// <param name="tree">二叉树</param>
        /// <param name="data">要查找的节点数据</param>
        /// <returns>要查找的节点</returns>
        public static bool GetNode<T>(BinTree<T> tree, T data)
        {
            if (tree == null) return false;

            //查找成功
            if (tree.Data.Equals(data)) return true;

            //递归查找
            return GetNode(tree.Left,data); //这里有问题？？？
        }

        /// <summary>
        /// 获取二叉树的深度
        /// 思路：分别递归左子树和右子树，然后得出较大的一个即为二叉树的深度
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">二叉树的数据类型</typeparam>
        /// <param name="tree">待操作的二叉树</param>
        /// <returns>二叉树的深度</returns>
        public static int GetLength<T>(BinTree<T> tree)
        {
            if (tree == null) return 0;
            int leftLength, rightLength;
            
            //递归左子树的深度
            leftLength = GetLength(tree.Left);

            //递归右子树的深度
            rightLength = GetLength(tree.Right);

            if (leftLength > rightLength) return leftLength + 1;
            else return rightLength + 1;
        }

        /// <summary>
        /// 先序遍历
        /// 思路：输出根节点--->遍历左子树--->遍历右子树
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T">二叉树的数据类型</typeparam>
        /// <param name="tree">待操作的二叉树</param>
        public static void Traversal_DLR<T>(BinTree<T> tree)
        {
            if (tree == null) return;

            //输出节点的值
            Console.Write(tree.Data+"\t");

            //递归遍历左子树
            Traversal_DLR(tree.Left);

            //递归遍历右子树
            Traversal_DLR(tree.Right);
        }

        /// <summary>
        /// 中序遍历
        /// 思路：遍历左子树--->输出根节点--->遍历右子树
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T"></typeparam>
        /// <param name="tree"></param>
        public static void Traversal_LDR<T>(BinTree<T> tree)
        {
            if (tree == null) return;

            //遍历左子树
            Traversal_LDR(tree.Left);

            //输出节点的值
            Console.Write(tree.Data + "\t");

            //遍历右子树
            Traversal_LDR(tree.Right);
        }

        /// <summary>
        /// 后序遍历
        /// 思路：遍历左子树--->遍历右子树--->输出根节点
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T"></typeparam>
        /// <param name="tree"></param>
        public static void Traversal_LRD<T>(BinTree<T> tree)
        {
            if (tree == null) return;

            //遍历左子树
            Traversal_LRD(tree.Left);

            //遍历右子树
            Traversal_LRD(tree.Right);

            //输出节点的值
            Console.Write(tree.Data + "\t");
        }

        /// <summary>
        /// 按层遍历
        /// 思路：从上到下，从左到右遍历节点
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T"></typeparam>
        /// <param name="tree"></param>
        public static void Traversal_Level<T>(BinTree<T> tree)
        {
            if (tree == null) return;
            int head=0;
            int tail=0;

            //申请保存空间
            BinTree<T>[] treeList=new BinTree<T>[Length];

            //将当前二叉树保存到数组中
            treeList[tail] = tree;

            //计算tail的位置
            tail = (tail + 1) % Length; //除留余数法

            while (head != tail)
            { 
                var tempNode=treeList[head];

                //计算head的位置
                head = (head + 1) % Length;

                //输出节点的值
                Console.Write(tempNode.Data+"\t");

                //如果左子树不为空，则将左子树保存到数组的tail位置
                if (tempNode.Left != null)
                {
                    treeList[tail] = tempNode.Left;

                    //重新计算tail的位置
                    tail = (tail + 1) % Length;
                }

                //如果右子树不为空，则将右子树保存到数组的tail位置
                if (tempNode.Right != null)
                {
                    treeList[tail] = tempNode.Right;

                    //重新计算tail的位置
                    tail = (tail + 1) % Length;
                }
            }
        }

        /// <summary>
        /// 清空
        /// 思路：使用递归释放当前节点的数据值
        /// </summary>
        /// <typeparam name="T"></typeparam>
        /// <param name="tree"></param>
        public static void Clear<T>(BinTree<T> tree)
        {
            if (tree == null) return;

            //递归左子树
            Clear(tree.Left);

            //递归右子树
            Clear(tree.Right);

            //释放节点数据
            tree = null;
        }

    }

    /// <summary>
    /// 二叉树(二叉链表)存储结构
    /// </summary>
    /// <typeparam name="T"></typeparam>
    public class BinTree<T>
    {
        public T Data { get;set;} //数据域

        public BinTree<T> Left { get; set; } //左孩子

        public BinTree<T> Right { get; set; } //右孩子
    }

    /// <summary>
    /// 插入方向(左节点还是右节点)
    /// </summary>
    public enum Direction
    {
        Left=1,
        Right=2
    }
}

namespace BinTree.CSharp
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine("***************二叉树(二叉链表)********************");

            //创建根节点
            BinTree<string> tree = BinTreeBLL.CreateRoot();

            //插入节点
            Console.WriteLine("\n*********插入节点***********");
            BinTreeBLL.Insert(tree);

            //先序遍历
            Console.WriteLine("\n先序遍历结果：");
            BinTreeBLL.Traversal_DLR(tree);

            //中序遍历
            Console.WriteLine("\n中序遍历结果：");
            BinTreeBLL.Traversal_LDR(tree);

            //后序遍历
            Console.WriteLine("\n后序遍历结果：");
            BinTreeBLL.Traversal_LRD(tree);

            //层次遍历
            Console.WriteLine("\n层次遍历结果：");
            BinTreeBLL.Length = 50;
            BinTreeBLL.Traversal_Level(tree);

            //获取树的深度
            Console.WriteLine("\n当前树的深度为:{0}",BinTreeBLL.GetLength(tree));

            Console.ReadKey();
        }
    }
}

程序输出结果如图：

 

C语言版：

#include "string.h"
#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */

typedef int Status;        /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

/**********定义二叉树的存储结构************/
typedef char TElemType;
TElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */

typedef struct BinTreeNode  /* 结点结构 */
{
    TElemType data;        /* 结点数据 */
    struct BinTreeNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
}BinTreeNode,*BinTree;
/*****************************************/

/***********用于构造二叉树************** */
int index=1;
typedef char charArray[24]; /*声明一个char类型数组,charArray是数组名也是一个指针*/
charArray str;

Status AssignStr(charArray T,char *chars)
{ 
    int i;
    if(strlen(chars)>MAXSIZE) return ERROR; /*输入字符的长度超过存储空间最大值*/
    else
    {
        T[0]=strlen(chars); /*0号单元存放字符串长度*/
        for(i=1;i<=T[0];i++)
        {
            T[i]=*(chars+i-1); /*???*/
        }
        return OK;
    }
}
/* ************************************* */

/*构造二叉树*/
void CreateBinTree(BinTree *T)
{ 
    TElemType ch;
    ch=str[index++];

    if(ch=='#') 
        *T=NULL;
    else
    {
        *T=(BinTree)malloc(sizeof(BinTreeNode));
        if(!*T)
            exit(OVERFLOW);
        (*T)->data=ch; /* 生成根结点 */
        CreateBinTree(&(*T)->lchild); /* 构造左子树 */
        CreateBinTree(&(*T)->rchild); /* 构造右子树 */
    }
}

/* 构造空二叉树*/
Status InitBinTree(BinTree *T)
{ 
    *T=NULL;
    return OK;
}

/*清空二叉树*/
void ClearBinTree(BinTree *T)
{ 
    if(*T) 
    {
        if((*T)->lchild) /* 有左孩子 */
            ClearBinTree(&(*T)->lchild); /* 销毁左孩子子树 */
        if((*T)->rchild) /* 有右孩子 */
            ClearBinTree(&(*T)->rchild); /* 销毁右孩子子树 */
        free(*T); /* 释放根结点 */
        *T=NULL; /* 空指针赋0 */
    }
}

/*判断二叉树是否为空*/
Status IsBinTreeEmpty(BinTree T)
{ 
    if(T)
        return FALSE;
    else
        return TRUE;
}

/*计算二叉树的深度*/
int GetDepth(BinTree T)
{
    int i,j;
    if(!T)
        return 0;
    if(T->lchild)
        i=GetDepth(T->lchild);
    else
        i=0;
    if(T->rchild)
        j=GetDepth(T->rchild);
    else
        j=0;
    return i>j?i+1:j+1;
}

/*获取二叉树的根节点*/
TElemType GetRoot(BinTree T)
{ 
    if(IsBinTreeEmpty(T))
        return Nil; /*Nil表示空字符*/
    else
        return T->data;
}

/*前序遍历
思路：访问根节点--->前序遍历左子树--->前序遍历右子树
*/
void PreOrderTraverse(BinTree T)
{ 
    if(T==NULL) return;

    printf("%c ",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
    PreOrderTraverse(T->lchild); /* 再先序遍历左子树 */
    PreOrderTraverse(T->rchild); /* 最后先序遍历右子树 */
}

/*中序遍历
思路：中序遍历左子树--->访问根节点--->中序遍历右子树
*/
void InOrderTraverse(BinTree T)
{ 
    if(T==NULL) return;

    InOrderTraverse(T->lchild); /* 中序遍历左子树 */
    printf("%c ",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
    InOrderTraverse(T->rchild); /* 最后中序遍历右子树 */
}

/*后序遍历
思路：后序遍历左子树--->后序遍历右子树--->访问根节点
*/
void PostOrderTraverse(BinTree T)
{
    if(T==NULL) return;

    PostOrderTraverse(T->lchild); /* 先后序遍历左子树  */
    PostOrderTraverse(T->rchild); /* 再后序遍历右子树  */
    printf("%c ",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
}


int main()
{
    int i;
    BinTree T;
    TElemType e1;

    /*初始化二叉树为一棵空树*/
    InitBinTree(&T);

    /*设置字符数组用于构造二叉树*/
    AssignStr(str,"ABDH#K###E##CFI###G#J##");

    /*创建二叉树*/
    CreateBinTree(&T);
    printf("创建二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度为：%d\n",IsBinTreeEmpty(T),GetDepth(T));

    /*获取二叉树的根节点*/
    e1=GetRoot(T);
    printf("\n二叉树的根为: %c\n",e1);

    /*前序遍历*/
    printf("\n前序遍历二叉树:");
    PreOrderTraverse(T);

    /*中序遍历*/
    printf("\n中序遍历二叉树:");
    InOrderTraverse(T);

    /*后序遍历*/
    printf("\n后序遍历二叉树:");
    PostOrderTraverse(T);

    /*清空二叉树*/
    ClearBinTree(&T);
    printf("\n\n清除二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度为：%d\n",IsBinTreeEmpty(T),GetDepth(T));
    i=GetRoot(T);
    if(!i) printf("树空，无根\n");

    getchar();
}

程序输出结果如图：