2016 Hunan Province Programming Contest

A. 2016

题意

$1 \le a \le n, 1 \le b \le m$ ，其中$1 \le n,m \le 10^9$
求正整数$(a,b)$对的数量，满足$ab \% 2016 = 0$

思路

$2016=2^53^27$
根据$a$对因子的贡献对$a$分类，每种方案数对应$b$的数量，即$$\lfloor \frac{m}{\frac{2016}{a}} \rfloor$$
那么剩下的就是求每类$a$的数量，这个容斥一下即可。

代码

csu_1803

B. 有向无环图

题意

给一张有$N(N \le 10^5)$个点，$M(M \le 10^5)$条边的DAG
求$$\sum_{i=1}^{{n}{\sum_{j=1}}{count(i,j)a_ib_j%(10^9+7)}}$$，其中$count(i,j)$表示点i到点j不同的路径数量。

思路

$a_i$表示从i出发的每条边都要加上的权值，$b_i$则表示到达i的每条边的权值。
按照拓扑序转移下即可，注意要记忆化。

代码

csu_1804

D.Toll

题意

思路

算几何题吧，求一个凸包的面积，当然需要一些预处理。

代码

csu_1806

E.最长上升子序列

题意

给一个长度为$N(N \le 10^5)$的全排列，有些位置被挖掉，用0表示。
现在可以用被挖掉的值来填充0的位置，使得最后序列的最长上升子序列为$N-1$，求方案数。

思路

显然，如果|位移|>1的数大于1个，则无解，返回0即可。
如果|位移|>1的数(设为$x,p[x]$表示位置)只有1个，那么最后的方案数已经固定，需要判断：
1. $x$和$p[x]$之间的数满足位移情况，就是$x$若往右跳，则中间的数要左移。
2. 两边的数不能出现有位移的数。
如果没有|位移|>1的数，则判断位移1和位移-1的位置，以位移为1来说：
1. 此时有两种情况，这些数是被动移动的，或者此时位移1的数只有一个，但是是主动移动的，而这种情况可以视为前一种情况处理。
2. 找出位移1的所有位置，设$L$为最左的位置，$R$为最右的位置。
3. 首先$1\verb'~'L-1$和$R+1\verb'~'N$是不能出现有位移的数，并且$L\verb'~'R$也不能有保持原位的数，否则无解；
4. 假设与$L$相邻的连续0的个数为$x$，$R$位置为$y$，则可以让$[R,R+y]$放置于$[L-x,L-1]$位置上，则方案数有$x(y + 1)$种。
5. 两个数相邻（如$32$）的情况需要特判。
如果上述情况都没发生，则说明其余位置要么保持原位，要么是0。
1. 对于一段连续的0的段，显然这中间的数不会越位到该段之外，比如$0,2,0,0$中的数1不会出现在$3,4$位置上，否则$2$会发生位移。所以若最后上升序列长度为$N-1$，则该段上升序列长度为$L-1$，其余位置保持原位，即变成了原问题的子问题。
2. 用$f[i]$表示全0段长度为i且最长上升子序列长度为$i-1$的方案数。
3. 递推式：$f[i]=2f[i-1]+2-f[i-2]$
4. 但事实上，$f[i]=(i-1)^2$
可以自己多试一些小数据，比如$0,0,2,0$这样子的数据。