2016 Multi-University Training Contest 9
2016 Multi-University Training Contest 9
HDU 5845 Best Division
题意
- 给\(N(1 \le N \le 10^5)\)个数\(A_i(0 \le A_i \lt 268435456)\)，将这\(N\)个数划分成\(K\)段，每段的长度不超过\(L\)，且每段的异或和小于等于\(X(0 \le X \lt 268435456)\)。
- 求最大的段数\(K\)。
思路
- \(f[i]\)表示以位置i结尾的最大段数
- \(sum[i]\)表示\(A_1 \oplus A_2 \oplus ... \oplus A_i\)
- 对于位置i来说，需要在\([i - L, i)\)找到位置j，满足\(sum[i] \oplus sum[j] \le X\)使得\(f[j]\)最大。
- 考虑维护一棵01字典树，叶子节点记录对应\(sum\)值的最大长度，非叶子节点记录子树的最大长度。
- 当查询一个\(sum[i]\)值时：
- 若对应位置的 \(X\) 为1，\(sum[i]\)与\(sum[j]\)相等，则\(sum[i] \oplus sum[j] \lt X\)，就可以取对应节点的dp值；若\(sum[i]\)与\(sum[j]\)不相等，则要往下走。
- 若对应位置 \(X\) 为0，则\(sum[i]\)与\(sum[j]\)必须相等，否则异或和会大于 \(X\)。
- 因为有 \(L\) 的限制，所以需要进行删除操作。删除时，只要判断对应\(sum\)值节点的dp值是否等于当前的\(f[i - L - 1]\)。如果不相等，说明在\([i-L, i)\)中有相等\(sum\)值，此时这个位置的最大长度最小为\(f[i-L-1]+1\)，所以在相等的情况下就可以把相应的dp值置为-1。
代码
HDU 5847 Different Sums
题意
- 构造一个长为\(N(N \le 2000)\)的数组，每个数不超过\(3N+18\)。
- 任意连续子序列(共\(\frac{N(N+1)}{2}\)个)的和均不相同。
思路
- 令前缀和\(Sum[i]=2*i*P+\frac{i(i+1)}{2}x \% P\)，其中\(P \gt N\)，且是质数。
- 证明，设\(R[i]=\frac{i(i+1)}{2}x \% P，Sum[i]-Sum[j]=Sum[x]-Sum[y]\)
- 因为\(|R[i]-R[j]| \lt P,|R[x]-R[y]| \lt P\),所以\(i-j=x-y\)
- \(Sum[i]-Sum[j]=Sum[x]-Sum[y] \\ \rightarrow (R[i]-R[j])\%P=(R[x]-R[y])\%P \\ \rightarrow (R[i]-R[j]-R[x]+R[y])\%P=0 \\ \rightarrow (i^2+i-j^2-j-x^2-x+y^2+y)\%P=0 \\ \rightarrow (i+j)(i-j)\%P=(x+y)(x-y)\%P \\ \rightarrow i+j=x+y\)
- 综合1.和2.，可知\(i=x,j=y\)，即任意连续子序列和均不相等。
代码
HDU 5852 Intersection is not allowed!
题意
- 一个\(N*N(N \le 10^5)\)的棋盘，有\(K(K \le 100)\)个棋子位于\((1,a_i)\)，要走到相应位置\((N,b_i)\)。
- 每个棋子只能往下或往右走。
- 求路径不相交的方案数，对1000000007取模。
思路
代码
HDU 5854 K-th value
参考
题意
- 给一棵\(N(N \leq 10^5)\)点的树，每条边有边权\(a_i(a_i \le 10^9)\)
- 一条简单路径的权值为\(\lfloor \frac{length}{K} \rfloor + 1\)条边的边权(排序过的)，其中\(K(1 \lt K \lt 50)\)是定值。
- 求路径长度在\([L,R]\)之间的最小路径权值，其中\(1 \le L \le R \le 50\)。
思路
- 假设最后的答案为\(Ans\)，路径上边权不超过\(Ans\)的条数记为\(F\)，则\(length \lt KF \to KF-length>0\)。
- 那么将边权不超过\(Ans\)的边记为\(K-1\),否则记为\(-1\)。用\(f[i][j]\)表示从点i出发走j步的最大和。
- 对于树上的每个节点来说，一种是作为简单路径的端点，这个直接判断即可；一种是作为中间节点，即两条分支，设分别走了\(x\)步和\(y\)步，则\(L \le (x + 1) + (y + 1) \le R\)，假设\(x\)从大到小枚举，则\(y\)越来越大，我们需要取相应范围\(max\{f[v][y]\}\)，这个可以通过单调队列优化。
代码
HDU 5855 Less Time, More profit
题意
- 有\(M(M \le 200)\)个商店，每个商店需要一些工厂提供原料以获得收益\(pro_i\)。注意是需要这些工厂全部建造才能获得收益，而不是只要一个工厂就可以。
- 有\(N(N \le 200)\)个工厂，每个工厂需要\(t_i\)天建造，费用为\(pay_i\)
- 求最少需要几天使得获得的收益不小于\(L\)，在天数最少的情况下，求最大收益；如果收益总是小于\(L\)，则输出"impossible"。
思路
- 当天数确定时，即变成了最大权闭合图模型。
- 天数和收益是正相关的，所以可以二分天数。
- 最大权闭合图：
- 论文：最小割模型在信息学竞赛中的应用
- 定义：简单讲，就是如果选了一个点，则它的所有后继节点都要选，权值最大的闭合图即最大权闭合图。
- 建图：S\(\to\)权值为正的点，流量为权值；原图的边，流量为\(\infty\);权值为负的点\(\to\)T，流量为权值的绝对值。
- 最大权=正权和-最小割
代码
