生成函数初步

普通生成函数（OGF）

形式

F = \sum_{n \geq 0} f_{n} x^{n}

$F = \sum_{n \geq 0} \ f_n \ x^n$

基本运算

1.相加

F \pm G = \sum_{n \geq 0} (f_{n} \pm g_{n}) x^{n}

$F \pm G = \sum_{n \geq 0} \ (f_n \pm g_n) \ x^n$

2.卷积

F \cdot G = \sum_{n \geq 0} x^{n} \sum_{i = 0}^{n} f_{i} g_{n - i}

$F \cdot G = \sum_{n \geq 0} \ x^n\ \sum_{i = 0} ^ n f_ig_{n - i}$

几种常见的幂级数求和

f = 0, 1, 1, 1, . . . 数 列 f 的 生 成 函 数 ： F = \sum_{n \geq 0} x^{n} = \frac{x}{1 - x}

$f = {0, 1, 1, 1, ...} \\ 数列f的生成函数：F = \sum_{n \geq 0} x^n = \frac{x}{1 - x}$

f = 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . 数 列 f 的 生 成 函 数 ： F = \sum_{n \geq 0} x^{2 n} = \frac{1}{1 - x^{2}}

$f = {1, 0, 1, 0, 1, 0, ...} \\ 数列f的生成函数：F = \sum_{n \geq 0} x^{2n} = \frac{1}{1 - x^2}$

f = 1, 2, 3, 4, . . . 数 列 f 的 生 成 函 数 ： F = \sum_{n \geq 0} (n + 1) x^{n} = \frac{1}{(1 - x)^{2}}

$f = {1, 2, 3, 4, ...} \\ 数列f的生成函数：F = \sum_{n \geq 0} (n + 1) x^n = \frac{1}{(1 - x)^2}$

f_{n} = C_{m}^{n} 数 列 f 的 生 成 函 数 ： F = \sum_{n \geq 0} C_{m}^{n} x^{n} = (1 + x)^{m}

$f_n = C_{m}^{n} \\ 数列f的生成函数：F = \sum_{n \geq 0} C_{m}^{n}x^n = (1 + x)^m$

f_{n} = C_{n + m}^{n} 数 列 f 的 生 成 函 数 ： F = \sum_{n \geq 0} C_{n + m}^{n} x^{n} = \frac{1}{(1 - x)^{m + 1}}

$f_n = C_{n + m}^{n} \\ 数列f的生成函数：F = \sum_{n \geq 0} C_{n + m}^{n} x^n = \frac{1}{(1 - x)^{m + 1}}$

多项式定理

(x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n})^{k} = \sum_{α_{1} + α_{2} + . . . + α_{n}} \frac{k!}{α_{1}! α_{2}! . . . α_{n}!} x_{1}^{α_{1}} . . . x_{n}^{α_{n}}

$(x_1 + x_2 + ... + x_n)^k = \sum_{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \frac{k!}{\alpha_1!\alpha_2!...\alpha_n!}x_1^{\alpha_1}...x_n^{\alpha_n}$

指数生成函数（EGF）

形式：

F = \sum_{n \geq 0} f_{n} \frac{x^{n}}{n!}

$F = \sum_{n \geq 0} f_n \frac{x^n}{n!}$

卷积：

F \cdot G = \sum_{n \geq 0} f_{n} \frac{x^{n}}{n!} \cdot \sum_{n \geq 0} g_{n} \frac{x^{n}}{n!} = \sum_{n \geq 0} \frac{x^{n}}{n!} \sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} f_{i} g_{n - i}

$F \cdot G = \sum_{n \geq 0} f_n \frac{x^n}{n!} \cdot \sum_{n \geq 0} g_n \frac{x^n}{n!} = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!} \sum_{i = 0}^{n} C_n^i f_ig_{n - i}$

二项式反演

形式：

若

g_{n} = \sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} f_{i}

$g_n = \sum_{i = 0}^n C_{n}^{i}f_i$

则

f_{n} = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} C_{n}^{i} g_{i}

$f_n = \sum_{i = 0}^n (-1)^{n - i} \ C_n^i \ g_i$

其中 $f_n$ 可以理解为恰好n个不同的元素形成特定结构的方案数， $g_n$ 可以理解为至多n个不同的元素形成特定结构的方案数

证明：

\begin{aligned} f_{n} & = \sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} (- 1)^{n - i} (\sum_{j = 0}^{i} C_{i}^{j} f_{j}) \\ = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{i} C_{n}^{i} C_{i}^{j} (- 1)^{n - i} f_{j} \\ = \sum_{j = 0}^{n} \sum_{i = j}^{n} C_{n}^{i} C_{i}^{j} (- 1)^{n - i} f_{j} \\ = \sum_{j = 0}^{n} f_{j} \sum_{i = j}^{n} C_{n}^{i} C_{i}^{j} (- 1)^{n - i} \end{aligned}

$\begin{aligned} f_n &= \sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} (-1)^{n-i} \ \ (\sum_{j = 0}^{i} C_{i}^{j} f_j) \\ &= \sum_{i = 0}^{n}\sum_{j = 0}^{i}C_{n}^{i}C_{i}^{j} (-1)^{n-i}f_j \\ &= \sum_{j = 0}^{n}\sum_{i = j}^{n}C_{n}^{i}C_{i}^{j} (-1)^{n-i}f_j \\&= \sum_{j = 0}^{n}f_j\sum_{i = j}^{n}C_{n}^{i}C_{i}^{j} (-1)^{n-i} \end{aligned}$

因为： $C_n^r \ C_r^k = C_n^k \ C_{n - k}^{r - k}$
所以：

\begin{aligned} f_{n} & = \sum_{j = 0}^{n} f_{j} \sum_{i = j}^{n} C_{n}^{j} C_{n - j}^{i - j} (- 1)^{n - i} \\ = \sum_{j = 0}^{n} C_{n}^{j} f_{j} \sum_{i = j}^{n} C_{n - j}^{i - j} (- 1)^{n - i} \\ \underset{令 k = i - j}{=} \sum_{j = 0}^{n} C_{n}^{j} f_{j} \sum_{k = 0}^{n - j} C_{n - j}^{k} (- 1)^{n - j - k} \\ = \sum_{j = 0}^{n} C_{n}^{j} f_{j} [n - j = 0] \\ = \sum_{j = 0}^{n} C_{n}^{j} f_{j} [n = j] \\ = f_{n} \end{aligned}

$\begin{aligned} f_n &= \sum_{j = 0}^{n}f_j\sum_{i = j}^{n}C_{n}^{j}C_{n - j}^{i - j} (-1)^{n-i} \\&= \sum_{j = 0}^{n}C_{n}^{j}f_j\sum_{i = j}^{n}C_{n - j}^{i - j} (-1)^{n-i} \\ & \underset{令k = i - j}{=} \ \sum_{j = 0}^{n}C_{n}^{j}f_j\sum_{k = 0}^{n - j}C_{n - j}^{k} (-1)^{n-j-k} \\ &= \sum_{j = 0}^{n}C_{n}^{j}f_j[n - j=0] \\ &= \sum_{j = 0}^{n}C_{n}^{j}f_j[n = j]\\ &= f_n \end{aligned}$

另一种形式：
若