Z函数(扩展KMP)

Z函数（扩展KMP）

用于解决以下问题：给定一个长度为n的字符串$s$，求出一个数组$z$，其中$z_i$表示字符串$s(0, n - 1)$和$s(i, n - 1)$的最长公共前缀。其中 $|s| <= 2 \times 10^7$。

假设当前已经求出了$z_0$到$z_{i - 1}$，下一个要求$z_i$：

设$p$为$1$到$i - 1$中，能匹配到的最远距离，即：$p = max(j + z_j - 1), j \in [1, i - 1]$，记$p$取最大值时$j$的值为$k$.

可知:字符串$s(0, z_k - 1)$和$s(k, k + z_k - 1)$是相等的.

假设此时要求的$i \in [k, k + z_k - 1]$,可知$s(i, k + z_k - 1)$和$s(i - k, z_k - 1)$是相等的。

记$l = z_{i - k}$, 则$s(0, l - 1)$和$s(i - k, i - k + l - 1)$是相等的. 又因为$s(i - k, i - k + l - 1)$和$s(i, i + l - 1)$是相等的,因此我们找到了从$i$开始的一段长为$l$的公共前缀.下面分两种情况:

1.当$i + l - 1 \leq p$时,$z_{i}$的值即为$l$.

2.当$i + l - 1 \geq p$时,大于$p$的部分不一定能和前面匹配上,因此应该从$p$开始往后扩展.

算法的复杂度为$O(n)$,$n$为字符串的长度.

代码

const int N = 20000005;
int n, z[N];
string s;
void Z(string &s) {
    n = s.size();
    int p = 0, k = 1; z[0] = n;
    while(z[1] + 1 < n && (s[z[1] + 1] == s[z[1]])) z[1]++;
    p = z[1]; k = 1;
    for(int i = 2; i < n; i++) {
        int l = z[i - k];
        if(i + l - 1 <= p) {
            z[i] = l;
        } else {
            z[i] = max(0, p - i + 1);
            while(z[i] + i < n && (s[z[i] + i] == s[z[i]])) z[i]++;
        }
        if(z[i] > p) {
            p = z[i]; k = i;
        }
    }
}