二分图博弈

二分图博弈

二分图博弈模型的描述为：在一张二分图上，给定一个起始点S，有两个玩家轮流操作，每轮玩家可以走到一个相邻的且之前没有走到过的点，不能移动的人输掉。

二分图博弈的结论为：如果起始点S一定属于二分图的最大匹配，则先手必胜，否则先手必败。

证明：

1.若S一定属于最大匹配，则先手只需要选择与当前点匹配的那个点移动，而后手无论如何移动，选择到的点一定是最大匹配中的点。

1证明：若后手选到的一个非匹配点，设其为$P_n$, 之前走过的路径为:$S, P_1, P_2, ..., P_{n - 1}, P_n$，对应最大匹配中的$(S, P_1), (P_2, P_3), ..., (P_{n -2}, P_{n - 1})$，现在将其替换为：$(P_1, P_2),(P_3, P_4) ..., (P_{n - 1}, P_n)$，之后的匹配不变，这样最大匹配数没变但是与一定包含S矛盾。

2.若S不一定属于最大匹配，设某个最大匹配T不包含S， 先手无论走哪条边，到达的点一定是匹配点，也一定属于最大匹配，否则会发现新匹配，与T为最大匹配矛盾。 而后手变成了情况1中的先手，只需要按照情况1的策略即可必胜，因此先手必败。

求解方法：

使用dinic或者匈牙利算法，先将起点S及其连边去除，求得最大匹配，再将其加上，求最大匹配。若两次匹配不同则说明S一定属于最大匹配，否则不一定。