博弈论部分定义及定理

一.公平组合游戏ICG：

定义为:

1.有两名玩家交替行动

2.在游戏进行的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪位玩家无关

3.不能行动的玩家判负

二.mex运算

定义为:

$mex(S) = min\{x\} (x \in N, x \notin S)$

即为不属于集合$S$的最小非负整数。

三.有向图游戏

定义：给定一个有向无环图，规定一个起点，两名玩家轮流选择一条边前进，无法移动者判为负。

将一个公平组合游戏的某一状态视为一个节点，它向所有一步能到达的状态节点连一条有向边，即可将任一ICG游戏转换为有向图游戏。

四.SG函数

定义:对于有向图游戏中某一结点$u$,设$v_1, v_2, ..., v_k$为其后继节点,$u$节点的sg函数值定义为:

$sg(u) = mex(\{sg(v_1), sg(v_2), ..., sg(v_k)\})$

观察可以发现,对于所有无法前进的状态,其sg函数值为0,此时当前玩家必败.

1.若某一结点sg函数值大于0,则其后继节点中存在sg为0的节点,先手可以选择此节点,使后手一直面临sg为0的节点,最终无法移动而失败,因此先手必胜.

2.若某一结点sg函数值为0,则其后继节点中不存在sg为0的节点,先手不论选择哪一个节点,都会使后手面临sg大于0的必胜状态,因此先手必败.

五.“组合型”组合博弈

定义为:

1.一个游戏可以被拆分成几个独立的部分, 每个部分可以是ICG游戏,也可以是一个组合型组合博弈.

2.各部分之间状态相互独立.

3.所有子游戏达到终止状态后整个游戏中止.

4.每轮玩家只能在一个子游戏上操作.

最经典的nim游戏就是一个“组合型”组合博弈.

六.“组合型”组合博弈的SG函数

设一个“组合型”组合博弈$X$游戏由k个子游戏构成,分别为:$X_1, X_2, ..., X_k$,则:

$sg(x) = sg(X_1) \ xor \ sg(X_2) \ xor \ ... \ xor \ sg(X_k)$