狄利克雷卷积

补充一下莫比乌斯反演的前置知识

狄利克雷乘积(Dirichlet product)亦称狄利克雷卷积、卷积，是数论函数的重要运算之一。设f(n)、g(n)是两个数论函数，它们的Dirichlet(狄利克雷)乘积也是一个数论函数，简记为h(n)=f(n)*g(n)。

前置知识：积性函数

规定几种函数：

$$单位函数：\epsilon(n) = \left\{ \begin{aligned} 1 \qquad n = 1 \\ 0 \qquad n > 1 \end{aligned} \right. \\ 幂函数：Id_{k}(n) = n^{k} \\ 常数函数：1(n) = 1 \\ 整除函数：\sigma_{k}(n) = \sum_{d \mid n} d^{k}\\ 欧拉函数：\phi(n)$$

对于函数f和g，狄利克雷卷积的运算过程为：

$$(f * g)(n) = \sum_{d \mid n} f(d)g(\frac{n}{d})$$

性质：

1.若f，g为积性函数，则$f*g$也为积性函数。

2.狄利克雷卷积满足交换律，$f * g = g * f$

3.狄利克雷卷积满足结合律，$f*(g * h) = (f * g) * h$

4.狄利克雷卷积满足分配律，$f * (g + h) = f * g + f * h$

5.$Id_{k} * 1 = \sigma_{k}$

证明：

$$(Id_{k} * 1)(n) = \sum_{d \mid n}Id_{k}(d)\cdot 1(\frac{n}{d}) = \sum_{d \mid n} d^{k} = \sigma_{k}(n)$$

6.$(\phi * 1) = Id$

证明：

设为$p$质数，$m > 0$

$$(\phi * 1)(p^{m}) = \sum_{d \mid p^{m}}\phi(d) = \sum_{i = 0}^{m} \phi(p^{i}) = p^{0} + \sum_{i = 1}^{m}(p^{i} - p^{i - 1}) = p^{m}$$

因为n可以表示为$n = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot ... \cdot p_r^{m_r}$,由积性函数的性质可得$(\phi * 1)(n) = n = Id(n)$

证毕

7.$(\epsilon * f)(n) = \sum_{d \mid n} f(d)\epsilon(\frac{n}{d}) = f(n)$

狄利克雷逆元

在狄利克雷卷积中，单位元是$\epsilon$，定义狄利克雷逆元如下：

$$f * f^{-1} = \epsilon$$

则将$f^{-1}$称为$f$的逆元

几个性质：

1.$f^{-1}(1) = \frac{1}{f(1)}$

2.对于$n > 1$有：

$$f^{-1}(n) = -\frac{1}{f(1)} \cdot \sum_{d \mid n , d > 1} f(d)f^{-1}(\frac{n}{d})$$

证明：

$n = 1$时：

$$1 = \epsilon (1) = (f * f^{-1})(1) = \sum_{d \mid 1}f(d)f^{-1}(\frac{1}{d}) = f(1)f^{-1}(1)\\ 可得：f^{-1}(1) = \frac{1}{f(1)}$$

$n \neq1$时：

$$(f * f^{-1})(n) = \sum_{d \mid n}f(d)f^{-1}(\frac{n}{d}) = f(1)f^{-1}(n) + \sum_{d \mid n, d > 1}f(d)f^{-1}(\frac{n}{d})\\ = f(1) \cdot (-\frac{1}{f(1)})\sum_{d \mid n, d > 1}f(d)f^{-1}(\frac{n}{d}) + \sum_{d \mid n, d > 1}f(d)f^{-1}(\frac{n}{d}) = 0 = \epsilon(n)$$

证毕

3.$\mu^{-1}(n) = 1$

证明：

$$因为：\epsilon(n) = (\mu * \mu^{-1})(n) = \sum_{d \mid n}\mu(d)\mu^{-1}(\frac{n}{d}) \\ 且；\epsilon(n) = \sum_{d \mid n}\mu(d)\\ 所以：\mu^{-1}(n) = 1(n) = 1$$

暂时写这么多