小数在计算机中为什么会有误差？说明机器数、码制、浮点数、以及数制转换的一些问题

1.常用的数制

十进制  0~9

八进制 0~7

二进制 0~1

十六进制 0~F

 

2.十进制 转 各个进制

   方法 ： 除以基数取余反向

 

3. 2进制  8进制  16进制 转十进制

二进制

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  2^3     2^2    2^1     2^0

   1         0          0         1         X

  =8+ 1 = 9

 

八进制

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8^1    8^0

1          7

=1*8 + 7*1 = 15

 

十六进制类似。 

 

4.二进制转 十六进制  八进制

二转八

三位一组   结果并在一起

二转十六

四位一组   结果合并在一起

 

5. 整数在内存中的存储，采用二进制

                   符号位

原码   正数      0

          负数       1

反码   正数      和原码相同

          负数      在原码基础上，符号位不变，各个位取反

补码   正数     和源码相同

          负数      在反码基础上，符号位不变，末位 +1

案例↓↓↓↓↓↓

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                   原码                 反码              补码

5         0000  0101        0000 0101       0000 0101

-5        1000   0101       1111  1010      1111 1011

 

6. 机器数 和 真值

用“+”、“-”号加绝对值来表示数值的大小，用这种形式表示的数值在计算机中称为“真值”

符号数码化后，二进制数的最高位“0”表示正号，“1”表示负号，用这种形式表示的数值在计算机中称为“机器数”

机器数中小数点隐含不占位

机器数       有符号            纯整数   点在最低位之后

                                        纯小数   点在符号位之后，最高位之前。  

                 无符号            纯整数    点在最低位之后

                                        纯小数    点在最高位之前

 

7.小数的存储 

   计算机中小数以二进制（浮点数）形式存储。

   首先是一个十进制小数形式，转化成二进制的计算案例。

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0.8125 转换成二进制

  其实这种情况是赶巧了得到一个确切的值。

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但对于某些特殊情况是这样的

 

8.浮点数产生误差的原因

  有两钟情况，会产生误差

   1）以二进制保存浮点数，所以一些原本有限位的小数，按照上面方法运算以后，可能变成一个无限循环的小数。

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   （十进制）0.9转成2进制是无限循环小数0.1110011001100110011...

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2）计算机保存浮点数的精度有限，例如float可以保留十进制最多7位（二进制23位）有效数字，double 可以保留十进制15~16位（二进制52位）有效数字。那有效数字以后的就被忽略了。