外代数

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Posted on 2011-12-24 21:53 无忧consume 阅读(1278) 评论(0) 编辑收藏举报

外代数

在数学上，给定向量空间V的外代数(英文：exterior algebra)，也称格拉斯曼代数(Grassmann algebra)，是特定有单位的结合代数，它包含V为一个子空间。它记为 Λ(V) 或 Λ^•(V)而它的乘法，称为楔积或外积，记为∧。楔积是结合的和双线性的；其基本属性是它在V上交替：

$v\wedge v = 0$ ，对于所有向量 $v\in V$

这表示

$u\wedge v = - v\wedge u$ ，对于所有向量 $u,v\in V$ ，以及

$v_1\wedge v_2\wedge\cdots \wedge v_k = 0$ ，当 $v_1,\ldots,v_k\in V$ 线性相关时。

注意这三个性质只对 V 中向量成立，不对代数Λ(V)中所有向量成立。

外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。Λ(V)的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。

形式为v₁∧v₂∧…∧v_k的元素，其中v₁,…,v_k在V中，称为k-向量。所有k-向量生成的Λ(V)的子空间称为V的k-阶外幂记为Λ^k(V)。外代数可以写作每个k阶幂的直和：

$\Lambda(V) = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \Lambda^k V$

该外积有一个重要性质，就是k-向量和l-向量的积是一个k+l-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由k给出。这些k-向量有几何上的解释：2-向量u∧v代表以u和v为边的带方向的平行四边形，而3-向量u∧v∧w代表带方向的平行六面体，其边为u, v, 和w。

外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。

定义及运算律

外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简捷的一个。

定义: 设 $V$ 是域 $K$ 上的一个向量空间，令 $I$ 为 $V$ 的张量代数

$T(V) = \bigoplus_{n=0}^\infty T^k V = K \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V) \oplus \ldots$

的理想（即双边理想），该理想是由所有形如 $v \otimes v$ 的张量生成的（其中 $v \in V$ 任意），则将 $V$ 上的外代数 $Λ(V)$ 定义为商代数 $T (V) / I$ ，即

Λ(V): = T (V) / I,

并且把 $v_1 \otimes \ldots \otimes v_k \in T^k V$ 的等价类^[1] $[v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in T(V)/I$ 记为 $v_1 \wedge \ldots \wedge v_k$ ，其中 $v_1, \ldots, v_k \in V$ . 设 $k = 0, 1, 2, \ldots \, ,$ 称

Λ k (V): = (T k V) / I

为 $V$ 的 $k$ -阶外幂（ $k$ th exterior power of $V$ ），称 $Λ k (V)$ 中的元素为 $k$ -向量（ $k$ -multivector）。

注：

$\forall \lambda \in K$ ，当且仅当 $λ = 0$ 时才有 $\lambda \in I$ ，因此，可以把 $Λ 0 (V) = K / I$ 等同于 $K$ ，并且把 $[\lambda] \in \Lambda^0 (V)$ 记为 $λ$ ；基于类似的原因，可以把 $Λ 1 (V) = V / I$ 等同于 $V$ ，而且把 $[v] \in \Lambda^0 (V)$ 记为 $v$ 。这一点是前面所讲的能够把 $[v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in \Lambda^k (V)$ 记为 $v_1 \wedge \ldots \wedge v_k$ 的特例和前提。
当 $k > 1$ 时， $k$ -向量并不仅限于形如 $v_1 \wedge \ldots \wedge v_k$ 的元素，例如， $v_1 \wedge v_2 + w_1 \wedge w_2$ 也是 2-向量，其中 $v_1, v_2, w_1, w_2 \in V$ .
理想 $I$ 中的元素并不仅限于形如 $v \otimes v$ 的张量，例如，设 $k = 2, 3, \ldots$ ，则 $\forall \alpha \in \Lambda^k (V)$ ， $α$ 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 $t \in T^k (V)$ ，可以把这个 $k$ -阶的完全反对称张量等同于 $α$ , 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中， $k$ -向量就是以这种方式定义的。
设 $k = 2, 3, \ldots$ ，则 $\forall \alpha \in \Lambda^k (V)$ ， $α$ 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 $t \in T^k (V)$ ，可以把这个 $k$ -阶的完全反对称张量等同于 $α$ , 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中， $k$ -向量就是以这种方式定义的。设 $k = 2, 3, \ldots$ ，则 $\forall \alpha \in \Lambda^k (V)$ ， $α$ 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 $t \in T^k (V)$ ，可以把这个 $k$ -阶的完全反对称张量等同于 $α$ , 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中， $k$ -向量就是以这种方式定义的。
1. $\forall v \in V, \forall t \in T(V)$ , 必定有 $v \otimes v \otimes t \in I$ 和 $t \otimes v \otimes v \in I$ .
2. $\forall v, w \in V$ , 由于 $(v + w) \otimes (v + w) \in I$ 和 $v \otimes v \in I$ 以及 $w \otimes w \in I$ , 显然有 $v \otimes w + w \otimes v = (v + w) \otimes (v + w) - v \otimes v - w \otimes w \in I$ . 这就有一个推论：所有的二阶对称张量都在理想 $I$ 中。
3. 由于上面的两个结论， $\forall v, w \in V$ ，我们有 $v \otimes w \otimes v = v \otimes (w \otimes v + v \otimes w) - v \otimes v \otimes w \in I$ , 这是因为等式右边的每一项都在 $I$ 中。对张量 $t \in T(V)$ 的阶数作数学归纳法，则可以证明： $\forall v \in V$ , $\forall t \in T(V)$ ，总有 $v \otimes t \otimes v \in I$ .
设 $k = 2, 3, \ldots$ ，则 $\forall \alpha \in \Lambda^k (V)$ ， $α$ 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 $t \in T^k (V)$ ，可以把这个 $k$ -阶的完全反对称张量等同于 $α$ , 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中， $k$ -向量就是以这种方式定义的。

运算律 将上面的注中的内容用 $\wedge$ 写出，则分别给出

(1) $\forall \lambda \in K, \alpha \in \Lambda(V)$ , $\lambda \wedge \alpha = \alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha.$

证明如下：作为等价类，我们从 $\alpha \in \Lambda(V) = T(V)/I$ 中任意挑选一个代表元 $t$ ，则 $t \in T(V)$ 而且 $α = [t].$ 根据商代数的定义，

$\lambda \wedge \alpha = [\lambda] \wedge [t] = [\lambda \otimes t] = [\lambda t] = \lambda [t] = \lambda \alpha.$

类似地，可以证明 $\alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha \, .$

(2) 根据注 3.1 中的内容，显然有 $v \wedge v = 0, \, \forall v \in V$ .

(3) 根据注 3.2 中的内容，对任意 $v, w \in V$ 成立着

$v \wedge w = - w \wedge v.$

注：即使 $K$ 的特征为 2，这个公式也是对的，只不过此时有 $- 1 = 1$ 而已。

(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算 $\wedge: \Lambda(V) \times \Lambda(V) \rightarrow \Lambda(V)$ 满足结合律和分配律：

$(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),$

$(\alpha + \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta,$

$\alpha \wedge (\beta + \theta) = \alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \theta,$

其中 $\alpha, \beta, \theta \in \Lambda (V)$ 都是任意的。

以前两条性质为例，其证明如下：设张量 $a, b, t \in T(V)$ 分别是 $α,β,θ$ 中的代表元，即 $α = [a]$ , $β = [b]$ , $θ = [t]$ , 则

$(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = ([a] \wedge [b]) \wedge [t] = [a \otimes b] \wedge [t] = [(a \otimes b) \otimes t] = [a \otimes (b \otimes t)] = [a] \wedge [b \otimes t] = [a] \wedge ([b] \wedge [t]) = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),$

$(\alpha + \beta) \wedge \theta = ([a] + [b]) \wedge [t] = [a + b] \wedge [t] = [(a + b) \otimes t] = [a \otimes t + b \otimes t] = [a \otimes t] + [b \otimes t] = [a] \wedge [t] + [b] \wedge [t] = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta.$

(5) 根据上面的 (3) 和 (4)，用数学归纳法可以证明： $\forall \alpha \in \Lambda^k (V) \, , \, \beta \in \Lambda^l (V) \, ,$

$\beta \wedge \alpha = (-1)^{kl} \alpha \wedge \beta.$

证明从略。

基底和维数

若V的维数是n而{e₁,...,e_n}是V的基，则集合

$\{e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} \mid 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\}$

是k阶外幂Λ^k(V)的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积

$v_1\wedge\cdots\wedge v_k$

则每个向量v_j可以记为基向量e_i的一个线性组合;利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基k-向量前的系数可以用通过积e_i来描述v_j的矩阵的子式来计算。

数一下基元素，我们可以看到Λ^k(V) 的维数是n 取 k。特别的有， Λ^k(V) = {0} 对于 k > n.

外代数是一个分级代数，是如下直和

$\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)$

其维数等于二项式系数之和，也就是2ⁿ.

例子: 欧氏三维空间的外代数

考虑空间R³，其基为{i, j, k}。一对向量

$\mathbf{u} = u_1 \mathbf{i} + u_2 \mathbf{j} + u_3 \mathbf{k}$ $\mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}$

的楔积为

$\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j}) + (u_1 v_3 - u_3 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{k}) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{j} \wedge \mathbf{k})$

其中{i ∧ j, i ∧ k, j ∧ k}是三维空间Λ²(R³)的基底。

再加一个向量

$\mathbf{w} = w_1 \mathbf{i} + w_2 \mathbf{j} + w_3 \mathbf{k}$ ,

这三个向量的楔积是

$\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k})$

其中i ∧ j ∧ k是一维空间Λ³(R³)的基底。

空间Λ¹(R³) 是R³, 而空间Λ⁰(R³) 是R。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间Λ(R³)，这是八维向量空间

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8) := (a_1, a_2 \mathbf{i} + a_3 \mathbf{j} + a_4 \mathbf{k}, a_5 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} + a_6 \mathbf{i} \wedge \mathbf{k} + a_7 \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}, a_8 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k})$ .

那么，给定一对8维向量a和b, 其中a如上给出，而

$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8)$ ,

a和b的楔积如下(用列向量表达),

$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 \\ a_1 b_2 + a_2 b_1 \\ a_1 b_3 + a_3 b_1 \\ a_1 b_4 + a_4 b_1 \\ a_1 b_5 + a_5 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_1 b_6 + a_6 b_1 + a_2 b_4 - a_4 b_2 \\ a_1 b_7 + a_7 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3 \\ a_1 b_8 + a_8 b_1 + a_2 b_7 + a_7 b_2 - a_3 b_6 - a_6 b_3 + a_4 b_5 + a_5 b_4 \end{pmatrix}$ .

容易验证8维楔积以向量(1,0,0,0,0,0,0,0)为乘法幺元。也可以验证该Λ(R³)代数的楔积是结合的(也是双线性的):

$(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) \wedge \mathbf{c} = \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) \qquad \qquad \forall \, \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \isin \Lambda (\mathbf{R}^3),$

所以该代数是有单位且结合的。

叉乘的实质，赝向量与赝标量

对三维欧几里得空间 $E 3$ 可以建立一个线性同构 $\phi: \Lambda^2(E^3) \rightarrow E^3$ 如下：任取 $E 3$ 的右手的标准正交基 $\boldsymbol{i}$ ， $\boldsymbol{j}$ ， $\boldsymbol{k}$ ，规定 $ϕ$ 把 $\boldsymbol{i} \wedge \mathbf{j}$ ， $\boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}$ ， $\boldsymbol{k} \wedge \boldsymbol{i}$ 分别映射为 $\boldsymbol{k}$ ， $\boldsymbol{i}$ ， $\boldsymbol{j}$ ，则 $ϕ$ 的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

不难看出，对任意向量 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ ，这个线性同构把 $\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}$ 映射为 $\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}$ 。这就是叉乘（向量积）的实质。例如， $E 3$ 中平行四边形 $A B C D$ 的面积向量可以表示为 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}$ ，推广之后，高维黎曼流形 $(M, \mathbf{g})$ 中的紧的二维曲面 $Σ$ 的面积用

$\int_\Sigma \sqrt{h} \, du^1 \wedge du^2 \, , \qquad h = \left|\begin{array}{cc} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{array}\right| \, ,$

来计算（其中 $h a b$ 是度规张量场 $\mathbf{g}$ 在 $Σ$ 上的诱导度规 $\mathbf{h} = h_{ab} \, du^a \otimes du^b$ 的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的渊源关系。

物理学中经常要区分的向量（极向量）与赝向量（轴向量）这两个概念，现在就容易理解了：从根本上说，向量是 $E 3$ 中的元素，所以在空间反演变换下会改变方向；而赝向量其实是 $Λ 2 (E 3)$ 中的元素，在空间反演变换下不会改变方向。

类似地，借助于右手的标准正交基，可以把 $Λ 3 (E 3)$ 中的元素 $a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}$ 映射为“标量" $a \in \mathbb{R} = \Lambda^0 (E^3)$ 。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。

把 2-向量 $\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}$ 映射为向量 $\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}$ 以及把 3-向量 $a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \boldsymbol{k}$ 映射为一个实数 $a$ 的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。

泛性质及构造

令V为一个域K（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。Λ(V)是“最一般”的包含 V 的并有一个交替乘法在V上由单位的结合K-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：

任给一个有单位的结合 K-代数 A 和一个 K-线性映射 j : V → A 使得 j(v)j(v) = 0 对于每个 v 属于 V 成立，则存在恰好一个由单位的代数同态f : Λ(V) → A 使得f(v) = j(v) 所有 v 属于 V 成立。

要构造最一般的包含 V 的代数，而且其乘法是在 V 上交替的，很自然可以从包含 V 的最一般的代数开始，也就是张量代数 T(V)，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取T(V) 中由所有形为 v⊗v的元素生成的双边理想 I，其中 v 属于 V，并定义 Λ(V)为商

Λ(V) = T(V)/I

（并且使用 ∧ 为 Λ(V)中的乘法的代号）。然后可以直接证明 Λ(V) 包含 V 并且满足上述泛性质。

如果不是先定义 Λ(V) 然后把外幂 Λ^k(V) 等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间 Λ^k(V) 然后把它们合并成为一个代数 Λ(V)。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。

反对称算子和外幂

给定两个向量空间V和X，一个从V^k到X的反对称算子是一个多线性映射

f: V^k → X

使得只要v₁,...,v_k 是V中线性相关的向量，则

f(v₁,...,v_k) = 0.

最著名的例子是行列式值，从(Kⁿ)ⁿ到K的反对称线形算子。

映射

w: V^k → Λ^k(V)

它关联V中的k个向量到他们的楔积，也就是它们相应的k-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在V^k上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子f : V^k → X，存在一个唯一的线性映射φ: Λ^k(V) → X with f = φ o w。这个泛性质表述了空间Λ^k(V)并且可以作为它的定义。

所有从V^k到基域K的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若V是有限维的，维数n，则该空间可以认同为Λ^k(V^∗)，其中V^∗表示V的对偶空间。特别的有，从V^k到K的反对称映射的空间是n取k维的。

在这个等同关系下，若基域是R或者C，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设ω : V^k → K和η : V^m → K为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：

$\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}{\rm Alt}(\omega\otimes\eta)$

其中多线性映射的交替Alt定义为其变量的所有排列的带符号平均：

${\rm Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}{\rm sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)})$

注意： 有一些书中楔积定义为

$\omega\wedge\eta={\rm Alt}(\omega\otimes\eta)$

指标记法

在主要由物理学家使用的指标记法中

$(\omega\wedge\eta)_{a_1 \cdots a_{k+m}}=\frac{1}{k!m!}\epsilon_{a_1 \cdots a_{k+m}}^{b_1 \cdots b_k c_1 \cdots c_m} \omega_{b_1 \cdots b_k} \eta_{c_1 \cdots c_m}$

微分形式

令 M 为一个微分流形。一个微分k-形式 ω 是 Λ^kT^∗M（M 的余切丛的 k 阶外幂）的一个截面。等价的有：ω 是 M 的光滑函数，对于 M 的每个点 x 给定一个 Λ^k(T_xM)^∗的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。

推广

给定一个交换环R和一个R-模M，我们可以定义和上文一样的外代数Λ(M)，它是张量代数T(M)适当的商。它会满足类似的泛性质。

物理应用

格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。

参看：超空间，超代数，超群

注释

^ 由下述等价关系 $\sim$ 所形成的等价类：

$\forall u, v \in T(V)\, , u \sim v \Leftrightarrow u - v \in I \, .$

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