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雅可比矩阵

Posted on 2011-12-22 21:49 无忧consume 阅读(1330) 评论(0) 编辑收藏举报

雅可比矩阵

在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。

还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。

它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。

雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。雅可比矩阵

假设F:R_n→R_m 是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。这个函数由m个实函数组成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这就是所谓的雅可比矩阵：

$\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.$

此矩阵表示为：

$J_F(x_1,\ldots,x_n)$ ，或者 $\frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}.$

这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置y_i(i=1,...,m)表示的

如果p是R_n中的一点，F在p点可微分，那么在这一点的导数由J_F(p)给出(这是求该点导数最简便的方法)。在此情况下，由_F(p)描述的线性算子即接近点p的F的最优线性逼近，x逼近与p

$F(\mathbf{x}) \approx F(\mathbf{p}) + J_F(\mathbf{p})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})$

例子

由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出:R × [0,π] × [0,2π] → R³

$x_1 = r \sin\theta \cos\phi \,$

$x_2 = r \sin\theta \sin\phi \,$

$x_3 = r \cos\theta \,$

此坐标变换的雅可比矩阵是

$J_F(r,\theta,\phi) =\begin{bmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial r} & \frac{\partial x_1}{\partial \theta} & \frac{\partial x_1}{\partial \phi} \\[3pt] \frac{\partial x_2}{\partial r} & \frac{\partial x_2}{\partial \theta} & \frac{\partial x_2}{\partial \phi} \\[3pt] \frac{\partial x_3}{\partial r} & \frac{\partial x_3}{\partial \theta} & \frac{\partial x_3}{\partial \phi} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi & r \cos\theta \cos\phi & -r \sin\theta \sin\phi \\ \sin\theta \sin\phi & r \cos\theta \sin\phi & r \sin\theta \cos\phi \\ \cos\theta & -r \sin\theta & 0 \end{bmatrix}.$

R⁴的f函数:

$y_1 = x_1 \,$

$y_2 = 5x_3 \,$

$y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,$

$y_4 = x_3 \sin(x_1) \,$

其雅可比矩阵为:

$J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} & \frac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt] \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \frac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt] \frac{\partial y_3}{\partial x_1} & \frac{\partial y_3}{\partial x_2} & \frac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt] \frac{\partial y_4}{\partial x_1} & \frac{\partial y_4}{\partial x_2} & \frac{\partial y_4}{\partial x_3} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}.$

此例子说明雅可比矩阵不一定为方矩阵。

在动力系统中

考虑形为x' = F(x)的动力系统，F : Rⁿ → Rⁿ。如果F(x₀) = 0，那么x₀是一个驻点。系统接近驻点时的表现通常可以从J_F(x₀)的特征值来决定。

雅可比行列式

如果m = n，那么F是从n维空间到n维空间的函数，且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。

在某个给定点的雅可比行列式提供了F在接近该点时的表现的重要信息。例如，如果连续可微函数F在p点的雅可比行列式不是零，那么它在该点附近具有反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果p点的雅可比行列式是正数，则F在p点的取向不变；如果是负数，则F的取向相反。而从雅可比行列式的绝对值，就可以知道函数F在p点的缩放因子；这就是为什么它出现在换元积分法中。

例子

设有函数F : R³ → R³，其分量为：

$y_1 = 5x_2 \,$

$y_2 = 4x_1^2 - 2 \sin (x_2x_3) \,$

$y_3 = x_2 x_3 \,$

则它的雅可比行列式为：

$\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2.$

从中我们可以看到，当x₁和x₂同号时，F的取向相反；该函数处处具有反函数，除了在x₁ = 0和x₂ = 0时以外。

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