范数&&向量范数

　　定义1. 设 ,满足 
　　1. 正定性:║x║≥0,且║x║=0 <=> x=0 
　　2. 齐次性:║cx║=│c│║x║, 
　　3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║ 
　　则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数. 
　　可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数. 
　　常用向量范数有,令x=( x1,x2,…,xn)T 
　　1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│ 
　　2-范数:║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2 
　　∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│) 
　　易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞ 
　　定理1.Cn中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使 
　　m║x║α≤║x║β≤M║x║ 
　　可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得 
　　定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则 
　　║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→ 
　　∞) 
　　其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k) 
　　→x(k→∞),或 . 
　　三、 矩阵范数 
　　定义2. 设 ,满足 
　　1. 正定性:║X║≥0,且║X║=0 <=> X=0 
　　2. 齐次性:║cX║=│c│║X║, 
　　3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║ 
　　4. 相容性: ║XY║≤║X║║Y║ 
　　则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数. 
　　注意, 矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量 
　　序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩 
　　阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性: 
　　║Ax║≤║A║║x║ 
　　所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的. 
　　定理3. 设A是n×n矩阵,║?║是n维向量范数则 
　　║A║=max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} 
　　是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性 
　　或者说是相容的. 
　　单位矩阵的算子范数为1 
　　可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义: 
　　║x║=║X║,X=(xx…x) 
　　常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是 
　　1-范数:║A║1= max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } （列范数，A每一列元素绝对值之和的最大值）
　　(其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|ann|,其余类似）
　　2-范数:║A║2=( max{ λi(A'A) } ) ^1/2 ( 谱范数,即A'A特征值λi中最大者λm的平方根,其中A'为A的转置矩阵). 
　　∞-范数:║A║∞=max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|ann| } (行范数,A每一行元素绝对值之和的最大值)
　　(其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似）
　　Frobenius范数: 它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数. 
　　F-范数:||A||F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (F范数,A全部元素平方和的平方根)
　　四、 矩阵谱半径 
　　定义3.设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n.称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径. 
　　谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系: 
　　ρ(A)≤║A║ 
　　因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的 
　　相容性和齐次性就导出结果. 
　　定理3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是║ρ(A)║<1.