度量张量

Posted on 2011-12-19 15:14 无忧consume 阅读(1413) 评论(0) 编辑收藏举报

在黎曼几何里面，度量张量，物理学译为度规张量，是指一用来衡量度量空间中距离及角度的二阶张量。

当选定一个局域坐标系统 $x i$ ，度量张量可以矩阵表示，记作为G或g。而 $g i j$ 记号传统地表示度量张量的协变分量(亦为“矩阵元素”)。以下我们用爱因斯坦求和约定来代表隐含的求和。

一小段弧线长度定义如下，其中参数定为t，t由a到b:

$L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt$

两个切向量的夹角 $θ$ , $U=u^i{\partial\over \partial x_i}$ 和 $V=v^i{\partial\over \partial x_i}$ ，定义为:

$\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}}$

在欧几里得几何中，为流形光滑嵌入导入度量张量，由以下方程式计算得出:

G = J T J

$J$ 表示崁入的雅可比矩阵，它的转置为 $J T$

例子

二维欧几里德度量张量:

$g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

弧线长度转为熟悉微积分方程式:

$L = \int_a^b \sqrt{ (dx^1)^2 + (dx^2)^2}$

在其他坐标系统的欧氏度量:

极坐标系: $(x 1, x 2) = (r,θ)$

$g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix}$

圆柱坐标系: $(x 1, x 2, x 3) = (r,θ, z)$

$g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

球坐标系: $(x 1, x 2, x 3) = (r,ϕ,θ)$

$g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix}$

平面闵可夫斯基空间: $(x^0, x^1, x^2, x^3)=(t, x, y, z)\,$

$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} \equiv \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

在一些习惯中，与上面相反地，时间t 的度规分量取正号而空间 (x,y,z) 的度规分量取负号，故矩阵表示为：

$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}$

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