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欧拉－拉格朗日方程

Posted on 2011-12-18 23:57 无忧consume 阅读(1245) 评论(0) 编辑收藏举报

欧拉－拉格朗日方程

欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 为变分法中的一条重要方程。它提供了求泛函的平稳值的一个方法。

设 $f=f(x,\ y,\ z)$ ，以及 $f_y,\ f_z$ 在 $[a,\ b]\times\mathbb{R}^2$ 中连续，并设泛函第一方程

$J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx$ 。

若 $y\in C^1[a,\ b]$ 使得泛函 $J (y)$ 取得局部平稳值，则对于所有的 $x\in(a,\ b)$ ，

$\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}f(x, y, y')=\frac{\partial}{\partial y}f(x, y, y')$ 。

推广到多维的情况，记

$\vec{y}(x)=(y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x))$ ，

$\vec{y}'(x)=(y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))$ ，

$f(x, \vec{y}, \vec{y}')=f(x, y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x), y'_1(x), y'_2(x), \ldots, y'_n(x))$ 。

若 $\vec{y}'(x)\in(C^1[a, b])^n$ 使得泛函 $J(\vec{y})=\int_a^bf(x, \vec{y}, \vec{y}')dx$ 取得局部平稳值，则在区间 $(a,\ b)$ 内对于所有的 $i=1,\ 2,\ \ldots,\ n$ ，皆有

$\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')=\frac{\partial}{\partial y_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')$ 。

第二方程

设 $f=f(x,\ y,\ z)$ ，及 $f_y,\ f_z$ 在 $[a,\ b]\times\mathbb{R}^2$ 中连续，若 $y\in C^1[a,\ b]$ 使得泛函 $J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx$ 取得局部平稳值，则存在一常数 $C$ ，使得

$f(x, y, y')-y'(x)f_{y\,'}(x, y, y')=\int_a^x f_x(x(t), y(t), y'(t))dt+C$ 。

例子

设 $(0,\ 0)$ 及 $(a,\ b)$ 为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设 $(x(t),\ y(t)) (t\in[0,\ 1])$ ，并且

$(x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)$ ；

这里， $(x(t),\ y(t))\in C^1[0,\ 1]$ 为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为

$L(y)=\int_0^1\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$ 。

现设

$\vec{y}(t)=(x(t),\ y(t))$ ，

$f(t,\ \vec{y}(t),\ \vec{y}'(t))=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$ ，

取偏微分，则

$f_{x'}=\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}$ ，

$f_{y'}=\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}$ ，

f x = f y = 0

。

若 $y$ 使得 $L (y)$ 取得局部平稳值，则 $y$ 符合第一方程：

$\frac{d}{dt}f_{x'}(t, y, y')=f_x(t, y, y')=0$ ，

$\frac{d}{dt}f_{y'}(t, y, y')=f_y(t, y, y')=0$ 。

因此，

$\frac{d}{dt}\frac{x'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0$ ，

$\frac{d}{dt}\frac{y'}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=0$ 。

随 $t$ 积分，

$\frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C_0$ ，

$\frac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}=C_1$ ；

这里， $C_0,\ C_1$ 为常数。重新编排，

$x'=\sqrt{\frac{C_0^2}{1-C_0^2}}=r$ ，

$y'=\sqrt{\frac{C_1^2}{1-C_1^2}}=s$ 。

再积分，

x (t) = r t + r'

，

y (t) = s t + s'

。

代入初始条件

$(x(0),\ y(0))=(0,\ 0)$ ，

$(x(1),\ y(1))=(a,\ b)$ ；

即可解得 $(x(t),\ y(t))=(at,\ bt)$ ，是连接两点的一条线段。

另经过其他的分析，可知此解为唯一解，并且该解使得 $L (y)$ 取得极小值，所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。

参阅

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