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保守矢量场

Posted on 2011-12-18 23:56 无忧consume 阅读(1016) 评论(0) 编辑收藏举报

保守矢量场

如果一个矢量场是某个标量势的梯度，那么便称为保守矢量场。有两个密切相关的概念：路径无关和无旋矢量场。任何一个保守矢量场的旋度都是零（因此是无旋的），也具有路径无关的性质。

一个矢量场 $\mathbf{v}$ 称为保守的，如果存在一个标量场 $\varphi$ ，使得：定义

$\mathbf{v}=\nabla\varphi.$

在这里， $\nabla\varphi$ 表示 $φ$ 的梯度。当以上的等式成立时， $φ$ 就称为 $\mathbf{v}$ 的一个标量势。

矢量分析基本定理表明，任何一个矢量场都可以表示为一个保守矢量场和一个螺线矢量场的和。

路径无关

保守矢量场的一个重要性质是它沿着一条路径的积分只与起点和终点有关，与路径无关。假设 $S\subseteq\mathbb{R}^3$ 是三维空间内的一个区域， $P$ 是 $S$ 内的一个可求长路径，其起点为 $A$ ，终点为 $B$ 。如果 $\mathbf{v}=\nabla\varphi$ 是保守矢量场，那么：

$\int_P \mathbf{v}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(A)-\varphi(B).$

这是复合函数求导法则和微积分基本定理的结果。

一个等价的表述是，对于 $S$ 内的所有闭合路径，都有：

$\oint \mathbf{v}\cdot d\mathbf{r}=0$

以上的逆命题也是成立的，只要 $S$ 是连通区域。也就是说，如果 $\mathbf{v}$ 沿着 $S$ 内的所有闭合路径的环量都是零，那么 $\mathbf{v}$ 就是保守矢量场。

无旋矢量场

矢量场 $\mathbf{v}$ 是无旋的，如果它的旋度是零，也就是说：

$\nabla\times\mathbf{v} = 0.$

由于这个原因，这种矢量场有时称为无旋矢量场。

对于任何标量场 $φ$ ，都有：

$\nabla \times \nabla \varphi=0.$

因此保守矢量场都是无旋矢量场。

只要 $S$ 是单连通区域，它的逆命题也是成立的：每一个无旋矢量场也都是保守矢量场。

如果 $S$ 不是单连通的，则逆命题不成立。设 $S$ 为去掉 $z$ 轴的三维空间，也就是 $S=\mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,z)~|~z\in\mathbb{R}\}$ 。现在，我们定义以下的矢量场：

$\mathbf{v}= \left( \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0 \right).$

则 $\mathbf{v}$ 存在，且在 $S$ 内的每一个点旋度都是零；因此 $\mathbf{v}$ 是无旋的。但是， $\mathbf{v}$ 沿着 $x, y$ 平面内的单位圆的环量等于 $2π$ 。因此 $\mathbf{v}$ 不具有路径无关的性质，所以不是保守的。

在单连通空间内，无旋矢量场具有路径无关的性质。这是因为无旋矢量场是保守的，而保守矢量场又是路径无关的。这个结果也可以从斯托克斯定理直接推出。在连通区域内，任何一个路径无关的矢量场都一定是无旋的。

更加抽象地，保守矢量场是恰当1-形式。也就是说，它是一个1-形式，等于某个0-形式（标量场） $ϕ$ 的外导数。一个无旋矢量场是闭合1-形式。由于d² = 0，任何正合形式都是闭合的，因此任何保守矢量场都是无旋的。定义域是单连通的，当且仅当它的第一个同调群为零，或第一个上同调群为零。第一个德拉姆上同调群 $H_{\mathrm{dR}}^{1}$ 是零，当且仅当所有闭合1-形式都是恰当的。