向量分析

Posted on 2011-12-18 20:29 无忧consume 阅读(412) 评论(0) 编辑收藏举报

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向量微积分(Vector calculus)或向量分析(Vector Analysis)是数学的分支，关心拥有两个维度或以上的向量的多元实分析。它有一套方程式及难题处理技巧，对物理学及工程学特别有帮助。

我们考虑到向量场时把向量联系到空间里的每一个点，考虑到标量场时把标量连系到空间里的每一个点。例如：游泳池的水温是标量场；游泳池的水流是向量场。

向量算子

算子	表示	叙述	界域
梯度	$\operatorname{grad}(f) = \nabla f$	标量场f改变的速率与方向	标量场的梯度是向量场
旋度	$\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}$	向量场F倾向绕着一个点旋转的程度	向量场的旋度是向量场
（发）散度	$\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}$	向量场F倾向源于一点的程度	向量场的散度是标量场
拉普拉斯算子	$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$	为散度与梯度算子的组成	标量场的拉普拉斯是标量场

定理	表示	注解
梯度定理（线积分基本定理）	$\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f \left( \mathbf{q} \right) - f \left( \mathbf{p} \right)$	C为一平滑曲线。
格林定理	$\oint_{C} P\, dx + Q\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dxdy$	在封闭曲线C上所做的线积分，等于在区域D所的积分。
高斯散度定理（散度基本定理）	$\iiint_V\boldsymbol{\mathit{\nabla\!\cdot\! F}}\,dxdydz= \iint_{\partial V} \boldsymbol{\mathit{F}}\!\cdot\!\boldsymbol{\mathit{n}}\,dS$
斯托克斯定理（旋度基本定理）	$\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},$

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