调和函数

Posted on 2011-12-16 20:53 无忧consume 阅读(858) 评论(0) 编辑收藏举报

在数学、数学物理学以及随机过程理论中，都有调和函数的概念。一个调和函数是一个二阶连续可导的函数 f : U → R（其中 U 是 Rⁿ 里的一个开子集），其满足拉普拉斯方程，即在 U上满足方程：

$\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0$

上式也经常写作

$\nabla^2 f = 0$ 或 $\ \Delta f = 0$ ，其中符号

Δ

调和函数还用一个较为弱的定义，但这个定义与上述的定义是等价的。

运用拉普拉斯-德拉姆算子 $Δ$ ，调和函数可以在任意的黎曼流形上定义。在这种情况下，调和函数直接定义为：满足 $\ \Delta f = 0$

一个 $C 2$ 的函数如果满足 $\Delta f \ge 0$ ，则被称作次调和函数。

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