Idea大全：捕捉忽视的灵感瞬间
Excellent Ideas
通过交换两个数的操作，使得一个排列\(a\)转变成另外一个排列\(b\)，求最少的交换次数。
对于每一个\(i\)连一条\(a_i\)和\(b_i\)的双向边，在图中求联通块数量\(c\)，最少交换次数为\(n-c\)。
\(x \ mod \ y\)要转化为\(x-y\times \lfloor \frac{x}{y}\rfloor\)然后分离开来处理。
出现值域很大但是具体值对问题没有实质性影响时，考虑离散化将问题简化.
本题中，\(1 \leq l<r\leq 10^9\)，转移是 \(f[i] = max(f[i] , f[j] + 1)\) （条件： \(j\)行和\(i\)行至少有一个位置同为\(1\)）
考虑到区间\([l,r]\)具体大小对问题没有影响，所以可以对区间进行离散化，就不用动态开点了。
删除边没有添加边方便，通常两者可以相互转化。（删除边和倒序添加边是等价的）
- 在一个字符串中删去一些元素和提取一些元素之间不等价。
- 求字符串删除元素后形成的串的种类/个数，可以用
Substring DP来做：
\(f_i\)表示第\(i\)个字符选择的方案数，\(f_i = \sum_{j=k}^{i-1} f_j \ (k = \max w [\ s_i = s_w])\)
这是由于\(1,...,k-1\)的信息都保存在\(f_k\)中了。
01-bfs搜索的本质是当前第一次搜索到的值一定是最优值，而动态插入的值可以让bfs搜索依然满足这个性质。
本题中当前能走的通，直接将其放在队列的首部，否则放在队尾，人为规定了bfs的优先级，可以简化复杂度。
dfs序和欧拉序将树上的问题转化为区级问题，本问题是二分求最大边的问题。
（欧拉序的构造）
第一种方法：
void dfs(int u) {
sa[++tim] = u;
dfn[u] = tim;
for (son...) dfs(son);
sa[++tim] = u;
}
- 性质1 ：\(x\)节点的子树中的所有节点，都在第一次出现的\(x\)时刻后，第二次出现\(x\)时刻前，且不重不漏不多不少刚好出现\(2\)次
- 性质2 ： \(x\)节点和\(y\)节点树上路径经过节点为，最后出现的\(x\)后，第一次出现的\(y\)之前，出现次数奇数次的节点+\(lca(x,y)\)
- 应用 ： 树上的问题，转化为区间问题求解。
第二种方法：
void dfs(int u) {
sa[++tim] = u;
dfn[u] = tim;
for (son...) {
dfs(son);
sa[++tim] = u;
}
}
- 性质1 ：\(x\)节点中的子树中的所有节点，都在第一次出现\(x\)位置之后，最后一次出现\(x\)位置之后。
- 性质2 ：树上两点\(x,y\)的\(lca\)，在第一次出现\(x\)和第一次出现\(y\)位置之间，时间戳dfn，最小的位置。
- 应用：预处理，并用ST表实现O(1)的lca查询。
（dfs序dfn的性质）
重要性质：节点\(x\)的子树在\(x\)出现位置\(pos\)的后面\(size[x]-1\)个，子树根后一定是连续排列的子树节点。
重要应用：述链剖分，将树上问题转化为区间问题。
有\(n\)个变量\(x_i \in [l_i,r_i]\)，询问是否存在一种解，让\(x_1+x_2+...+x_n = m\)。
显然若\(m\in[\sum\limits_{i=1}^{n} l_i,\sum\limits_{i=1}^{n} r_i]\)都是合法情况。
构造的话，可以先将所有\(x_i = l_i\)，然后对于每一个变量，尽可能将其增大，但让当前的\(\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \leq m\)。
有\(n\)条线段\([l_i,r_i]\)，要求选取尽可能少的点，让这些点能覆盖全部的线段。
考虑贪心，将这些线段按照右端点\(r_i\)升序排序，然后从\(1\)开始访问每一条线段，每次选取当前线段的右端点，因为之后遍历到的线段右端点一定比当前线段的右端点更靠右，为了让更多的线段被覆盖，就要让尽可能多的线段左端点在选取点的左侧，要求选取点要更靠右，因此，选取当前线段右端点是最佳的选择，选择更加左边的点不能获得更优的答案。
