数据分析与数据挖掘 - 04科学计算

一 认识科学计算

在人工智能的研发中，其本质就是把一切问题转化为数学问题，所以数学运算非常重要。很多数学运算采用的都是numpy这个库，因为它提供了非常多的科学计算的方法，能让我们的工作变得非常便利，这一章我将从numpy的基本使用开始，逐渐解决掉那些数学问题，让Python与数学能够更紧密的结合在一起。

二 认识numpy

numpy的本质其实还是一个多维数组，虽然我们之前学习过数组对象(Python中的list或者tuple)和numpy的数据看似一样，但是数组是无法直接参与数值运算的，而numpy对象却可以。

三 数组创建

import numpy as np

arr1 = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
arr2 = np.array([[1, 2, 3, 4, ], [5, 6, 7, 8, ]])
print(arr1, arr1.shape, arr1.dtype)
print(arr2, arr2.shape, arr1.dtype)  # shape获取数组形状2行4列，dtype获取数组中元素类型

如果我们创建数组时，元素类型不一样，numpy会给我们自动处理成一样的。

arr3 = np.array([1, 2.5, 3])  # 只要数组元素中出现float类型，就会全部处理成float
print(arr3, arr3.dtype)
arr4 = np.array(['4', 5, 5.6])  # 只要数组元素中出现str，就会全部处理成str
print(arr4, arr4.dtype)

四 数组访问

numpy的访问与Python中list或者tuple访问原理一样，方法也非常类似，只不过是加了一个纬度的概念。

# 首先我们定义了一个二维数组
arr5 = np.array([[1, 2, 3],
                 [4, 5, 6],
                 [7, 8, 9],
                 [10, 11, 12]])

print(arr5[1])  # 第一行 [4 5 6]
print(arr5[1][0])  # 第一行第0个 4
print(arr5[:, 2])  # 所有行第2个 [ 3  6  9 12]
print(arr5[:2])  # 前2行 [[1 2 3] [4 5 6]]
print(arr5[1, :])  # 第1行所有列 [4 5 6]
print(arr5[:, 1:2])  # 所有行第2到第3列 [[ 2] [ 5] [ 8] [11]]

对于二维来说，如果有逗号，逗号前是行筛选，逗号后是列筛选。对于n维来说，第一个逗号前是第一维，后面依次是二维三维等。

五 形状处理

1 预览修改与真正修改

numpy对象有一个shape属性，在Python基础中，对于形状并不敏感，而在科学计算中，形状却很重要，在后面的算法模型计算中，我们会使用地很频繁。

# 定义一个6行3列的numpy数组对象
arr6 = np.array([[1, 2, 3],
                 [4, 5, 6],
                 [7, 8, 9],
                 [10, 11, 12],
                 [13, 14, 15],
                 [16, 17, 18]])

print(arr6.shape)  # 注意看每次打印的结果
print(arr6.reshape(2, 9))  # 得到一个新的形状，原来的对象不变
print(arr6.shape, arr6)
print(arr6.resize(2, 9))  # 无返回值，真正修改
print(arr6.shape, arr6)

我们在这段代码中，分别使用了reshape和resize两种方法来对数组进行形状上的改变。其中reshape只是返回改变形状后的预览状态，或者说如果我们要使用这个结果只能把结果赋值给一个单独的变量，然后再进行使用。resize方法的返回结果为空，但是它却真正的改变了组数的形状，仔细看打印结果你就能够发现这两种形状操作方法的区别了。

2 降维操作

降维是人工智能算法中非常常用且重要的一个操作，原因是有时我们去描述一个事物的特征时，会有非常多的维度，但过多的维度会给我们的计算带来麻烦，这个时候我们就需要去降低它的维度，然后再进行计算。

arr7 = np.array([[1, 10, 100], [2, 20, 200], [3, 30, 300]])

# 按照数组的行顺序降至一维
print(arr7)
print(arr7.ravel())
print(arr7.reshape(-1))
print(arr7.flatten())

# 按照大小顺序降至一维
print(arr7.ravel(order="F"))
print(arr7.reshape(-1, order="F"))
print(arr7.flatten(order="F"))

降维后再进行修改

print('ravel：{}'.format(arr7.ravel()))
arr7.ravel()[1] = 1000
print(arr7)

print('reshape: {}'.format(arr7.reshape(-1)))
arr7.reshape(-1)[2] = 3000
print(arr7)

print('flatten: {}'.format(arr7.flatten()))
arr7.flatten()[0] = 2000
print(arr7)

从结果中，我们看到通过flatten方法实现的降维返回的是复制的操作，如果要用，那么只能把结果赋值给另外的变量了。它并没有影响原来数组的结果。通过ravel和reshape两个方法，返回的则是视图，也就是通过对视图的修改，是会直接影响到原数组中的值的。

3 数组堆叠

arr8 = np.array([[1, 10, 100], [2, 20, 200], [3, 30, 300]])
arr9 = np.array([1, 2, 3])
arr10 = np.array([[5], [6], [7]])

# 纵向堆叠
print(np.vstack([arr8, arr9]))
print(np.row_stack([arr8, arr9]))

# 横向合并
print(np.hstack([arr8, arr10]))
print(np.column_stack([arr8, arr10]))

需要注意的是：多个数组横向堆叠时，要保证行数相同，纵向合并，则要保证列数相同。

六 基本运算

1 四则运算

在以前，我们如果要对两个同形状的数组进行对应位置的四则运算时，我们必须要对两个数组进行循环处理，代码量上来说并不少，并且容易出错。有了NumPy之后，这些运算将会变的非常的简单。

import numpy as np

arr1 = np.array([11, 12, 13])
arr2 = np.array([21, 22, 23])
arr3 = np.array([31, 32, 33])

print(arr1 + arr2)
print(arr1 + arr2 + arr3)
print(arr1 - arr2)
print(arr1 - arr2 - arr3)
print(arr1 * arr2)
print(arr1 * arr2 * arr3)
print(arr1 / arr2)
print(arr1 / arr2 / arr3)
print(arr1 // arr2)
print(arr1 % arr2)
print(arr1 ** arr2)

print(np.add(arr1, arr2))
print(np.add(np.add(arr1, arr2), arr3))
print(np.subtract(arr1, arr2))
print(np.multiply(arr1, arr2))
print(np.divide(arr1, arr2))

从代码的运行结果中我们可以看到，当我们使用符号进行四则运算的时候，是可以连续进行操作的。当我们使用对象的方法进行四则运算的时候，不可以连续进行操作，因为这个方法只接收两个参数。如果我们想要对多个数组对象进行操作的时候，我们必须使用方法嵌套的方式来进行操作。除了四则运算，在学习Python基础时，所学习的取余数、整除、幂运算等都是支持的。

2 比较运算

print(arr1 <= arr2)
print(arr1 == arr2)
print(arr1 != arr2)

print(np.greater(arr1, arr2))
print(np.greater_equal(arr1, arr2))
print(np.less(arr1, arr2))
print(np.less_equal(arr1, arr2))
print(np.equal(arr1, arr2))
print(np.not_equal(arr1, arr2))

从结果上看，运用比较运算符可以返回布尔类型的值，也就是True和False。那我们什么时候会用到这样的运算呢？第一种情况是从数组中查询满足条件的元素，第二种情况是根据判断的结果执行不同的操作，示例代码如下：

arr3 = np.array([23, 12, 25])
arr4 = np.array([21, 15, 23])

print(arr3[arr3 > arr4])  # 取出arr3中元素大于arr4的
print(arr3[arr3 > 24])  # 取出arr3中元素大于24的
print(np.where(arr3 > 24, 0, arr3))  # 类似三元表达式，把大于24的修改成0，其他不变
print(list(0 if x > 24 else x for x in arr3))
print(np.where(arr4 > 16, 0, arr4))

3 广播运算

上面我们所有的运算都是基于相同形状的数组，那么当数组形状不同时，能够让它们之间进行运算吗？答案是肯定的，但是有相应的规则，不能随意计算，这种计算就叫做广播运算。

# 1 广播运算，末尾的纬度值加上去
arr3 = np.arange(60).reshape(5, 4, 3)
arr4 = np.arange(12).reshape(4, 3)
print(arr3)
print(arr4)
print(arr3 + arr4)

# 2 纬度值有一个为1
arr5 = np.arange(60).reshape(5, 4, 3)
arr6 = np.arange(4).reshape(4, 1)
print(arr5)
print(arr6)
print(arr5 + arr6)

# 3 arr7会自动补齐，类似上面纬度值有一个为1
arr7 = np.arange(12).reshape(4, 3)
arr8 = np.array([1, 2, 3])
print(arr7)
print(arr8)
print(arr7 + arr8)

arr9 = np.arange(60).reshape(5, 4, 3)
arr10 = np.arange(8).reshape(4, 2)
print(arr9)
print(arr10)
# print(arr9 + arr10)  # 不在上述三种讨论范围内，无法运算

其实，广播运算中的广播就是一对多，它的规律就是两者有相似的地方可以对应的上就能运算，缺少的部分，会自动用相同的部分补齐。

七 数学函数

numpy提供给我们一些常见的函数，除了np.pi或者np.e这样的常量函数，numpy也提供给我们很多数学函数供我们直接调用。

import numpy as np

arr1 = np.array([1.3, 1.5, -1.8, 2.4, 3.2])
arr2 = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

print(np.fabs(arr1))  # 绝对值
print(np.ceil(arr1))  # 向上取整
print(np.floor(arr1))  # 向下取整
print(np.round(arr1))  # 四舍五入
print(np.fmod(arr2, arr1))  # 余数
print(np.modf(arr1))  # 取小数部分和整数部分
print(np.sqrt(arr2))  # 算法平方根
print(np.square(arr2))  # 平方
print(np.exp(arr2))  # 以e为底的指数
print(np.power(arr2, 3))  # 各元素的3次方
print(np.log2(arr2))  # 以2为底的对数
print(np.log10(arr2))  # 以10为底的对数
print(np.log(arr2))  # 以e为底的对数

八 轴方向

数组对象有几个维度就有几个轴，对于我们常见的二维数组来说，轴0是竖直方向，轴1是水平方向。

import numpy as np

arr1 = np.array([[3, 7, 25, 8, 15, 20],
                 [4, 5, 6, 9, 14, 21]])

print(arr1)
print(np.max(arr1))  # 所有数组元素最大值
print(np.max(arr1, axis=1))  # 轴1最大值
print(np.max(arr1, axis=0))  # 轴0最大值

numpy提供了很多可以按照轴方向来计算的函数。

print(np.min(arr1, axis=0))  # 最小值
print(np.min(arr1, axis=1))
print(np.mean(arr1, axis=0))  # 平均值
print(np.median(arr1, axis=0))  # 中位数
print(np.sum(arr1, axis=1))  # 求和