平衡二叉搜索树
感谢清华大学邓俊辉老师的数据结构与算法慕课课程，真心好，带我入门。
一、AVL树
AVL树作为一种基本的平衡二叉搜索树(BBST:Binary Search Tree)，是为了解决二叉搜索树(BST:Binary Search Tree)中"瘦高“型的树的问题。在BST中，对一个节点的访问，时间成本与其深度成正比，而一些"瘦高“型的树或者极端一点，直接退化list的树，其访问的时间复杂度退化成了O(N)，而不是我们所期望的O(logN)，BBST主要是在一定程度上控制树的高度，将一颗树控制成"矮胖"类型，其访问成本更低。
- 定义
AVL树为每个节点增加了一个平衡因子，其值是该节点的两棵子树的高度差，其值不会超过1(-1,0,1)，对树高进行限制。
- insert
insert操作插入的节点，如果不影响全树的平衡因子失衡，则直接结束。如果引起平衡因子失衡，则插入的元素必定存在某一个节点的更加深的那棵子树上，从插入元素的祖先节点中找到离它最近的失衡的节点，然后在失衡路径上找到该最低失衡点的子节点和孙节点，以这三个节点，做一次“3+4”重构，就能将该节点由失衡转成平衡，而且其上所有的祖辈节点的失衡问题都能解决，因为总的来说，该节点的树高在变化后，并没有发生变化。对于一次insert操作，最好情况可能什么都不用做，只需要一次search操作，直接插入，最坏也只用一次“3+4”重构变换，O(1)的时间能解决。
- remove
remove操作相对就会复杂一点，首先删除一个节点，如果导致平衡因子失衡，必然是因为删除的节点位于某一棵子树中较深节点的单节点，此时需要找到引起失衡在最低节点，然后以其子节点、孙节点这三个节点，做一次“3+4”重构。
如图中，如果T2树原本已经有处于低处的节点，则此时节点P的深度未发生变化，remove操作结束，但是如果不存在，则remove使得节点P的高度降低了1，此时失衡情况可能会向上传导，继续导致失衡，如此反复，最坏情况会传导到树根处，所以remove操作的时间复杂度最坏情况是O(logN)。
二、Splay树
Splay树主要是针对在BST中，我们对某一节点进行访问后，很快又会访问改节点，或者访问该节点附近的节点。比如段页式存储中，我们对某一页面的内容访问，往往具有局部性。对于普通BST，一次静态访问，树的整体拓扑结构不发生变化，再次对该节点的访问都是需要相同的时间，而Splay树在每次访问某一节点时，都会将其提升到根部。提升的方式有两种，一种是自低向上，一种是自顶向下。自低向上虽然能将刚访问的节点提升至树的根部，但是对数的整体高度没有影响，而自顶向下会使访问路径上绝大部分节点高度减半，有着画龙点睛的精妙，我们来看看。
对于左右和右左这类之类型的节点，其变化自低向上和自顶向下的旋转变换没有区别。
但是左左和右右这种类型的节点，就有区别了。
我的理解是这样的，注意对比自顶向下和自低向上的区别，其中X节点的位置，首先，变化后，我们假设子树W、X、Y、Z概率上具有相同的高度E(h),然后经过一次变换后，其树的高度在期望上来说，集中在节点V的右节点X上，一次变化使得节点V的高度提升了2，等于E(h)+2，我们将高度转移到了X上，在下次变换中节点V的右节点的树高更高，所有我们假设X具有更高的概率更大，但是在自低向上的变化中，X子树任然位于最底层，整体树高没有变化，而在自顶向下的变化中，X子树位的树高提升了一层，那么整体的树高就减少了。
就是这种关键的变化，使得Splay树具有调整树高的自适应性，优化整体的拓扑结构。
- insert
先调用Splay树的search操作，寻找和提升操作都完成了，直接在根节点处进行insert操作。
- remove
remove操作也一样，先进行search操作，然后在节点处直接进行remove操作。
三、B-Tree
B树也是对BST树的一种改进，比如我们知道内存的访问速度和磁盘的访问速度相差很大，速度差异达到了105级别，这种级别是1s之于1day级别的差别。所以我们希望减少对磁盘的访问次数，而每次访问读取的数据量可以多一点。这就是B树的思想，对于每个节点，我们可以存储多个数据，按照从小到大的排列，假设有n个数据，那么就会产生n+1路分支。
- 定义
假设每一个节点的关键码个数为n，以m阶B树为例：
- 每一个节点的分支数不能超过m，即n+1≤m
- 每一个节点的分支数不能少于⌈m/2⌉，即n+1≥⌈m/2⌉
- 根部的分支数大于1即可
- 所有外部节点的深度统一相等
此时m阶B树也被称为（⌈m/2⌉，m）树，比如4阶B树，也叫做（2，4）树；
- insert
在B树的插入操作中，如果会破坏B树的定义，肯定是插入的关键码节点数已经为饱和，为m-1个，插入后，关键码个数超过了限制，此时要进行分裂操作。
以该节点中的⌊m/2⌋位置为界分为两部分，分裂，然后将该节点提升至其父节点中，如图所示，但是可能会导致其父节点也产生上溢，最多不过到达根部，时间复杂度最坏情况下为O(logN).
- remove
remove操作如果破坏了B树的定义，必然是在该节点的分支数少于⌈m/2⌉，首先向该节点的左右邻居节点查询，是否有多的关键码可以“借”，先进行“左顾右盼”。
如果其左右邻居有多的节点可以借用，这进行一次移位操作，就可以完成删除操作，如果它的邻居没有多余的节点，其节点关键码刚好为⌈m/2⌉-1，则进行合并操作。
如图所示，但是这样会导致父节点其中关键码个数减少，相当于在父节点中删除一个关键码，此时再重复上述操作...如此反复，至多不过到根节点处结束，时间复杂度为O(logN).
四、B+Tree
B+树是对B树的一种改进，就像C和C++一样，假设每一个节点是以key-data的形式来保存数据，在B+树中，每一个节点只保存key值，而不保存该key值指向的data，这样，每一个节点可以保存的key值就更加多，叶节点中保留了所有的key值和对应的data，叶节点保留了所有的key值和data值，并且在所有叶节点增加了顺序访问的指针，每一个叶节点都指向其相邻的叶节点，这样，就组成了了一棵B+树，在进行insert操作时，肯定需要插入到叶节点处，如果发生上溢，节点的分裂过程与B树有点不同，在分裂的子节点中要保留key-data值，上溢时复制一份key值，上溢到父节点。
