关于炒饭每日挑战-猜铁上海的一些研究

背景知识

「猜铁」规则说明
每天北京时间 0 点题目更新。
您有 6 次机会来尝试猜出一个地铁站。
在猜测后，您可以看到今日地铁站与所猜测地铁站的异同点和关联。
（具体地，会给出今日地铁站与所猜测地铁站的：1.所在区是否相同 2.是否位于同一条线路上 3.最少换乘次数 4.最短距离 5.投用时间先后关系，实际上 2 是包含于 3 的）
目标换乘和目标距离是独立的，分别指到隐藏站点的最少需要换乘多少次，到隐藏站点最少距离多少个站点。

提出问题

以下三个问题并非按照提出顺序排列，而是按照我在代码中实现顺序排列。

回答所给的信息是否过多了？具体地，若只回答最少换乘次数和最短距离，是否存在一种 ADP 的方案（可以根据上次猜测的信息决定下一次的猜测），使得两次猜测后获得的信息足以确定隐藏站点？
是否存在一种 ADP 的方案，使得两次猜测后获得的信息足以确定隐藏站点？
是否存在一种 non-ADP 的方案（必须先给出两次猜测的站再得到回答），使得两次猜测后获得的信息足以确定隐藏站点？

由于我地理不好，后两个问题最终也只考虑换乘次数、距离、投用时间，不考虑所在区。

前期准备工作

根据百度百科的信息，我整理了每一条线路对应站点的名称与投用时间（例如，对于人民广场站，一号线对应站点投用于 1995 年，二号线对应站点投用于 2000 年，八号线对应站点投用于 2007 年）。
特别地，十三号线各站点的投用时间众口难调，此处采用手动测试的炒饭每日挑战的数据：马当路站 2010，世博会博物馆站 2010，世博大道站 2016（其实很奇怪？）。
特别地，对于有支线的线路，本文只考虑百度百科中标注的所谓主线，且支线理应不存在市内换乘的情形，因而不构成影响。
叠甲：数据截止到 2024 年末，且只考虑一至十八号线。
以下采用 C++ 语言进行数据分析与处理。以上数据被我保存在 metro_table.in 中。

大体思路

我对所有站点采用了两种不同的编号方式：第一种为实际站点，用 map<string,int>存储，即名称-index，共 390 个（注意到四号线浦电路站已改名为向城路站，解决了历史遗留问题）；第二种为虚拟站点，每条线路的对应站各记录一次（例如，对于人民广场站，一号线、二号线、八号线的对应虚拟站点各记录一次），共 497 个。
第二种编号在我的实现中计算更加方便，而最终可调用的函数则基于第一种编号。

具体实践

核心在于计算最少换乘次数与最短距离。（Warning：如果你看了我的代码实现，会发现其中类型 $1$ 代表距离，类型 $2$ 代表换乘，与下文的叙述相反）
考虑对于虚拟站点集 $V$ （note that $| V | = 497$ ），建立两个无向图 $G_{1} (V, E_{1}), G_{2} (V, E_{2})$ ，分别用于计算最少换乘次数与最短距离。
对于同一条线路上的相邻虚拟站点 $p, q$ ，连边 $e_{1}, e_{2} = p \sim q$ ，边权分别为 $0, 1$ ；对于实际为同一站的虚拟站点 $p, q$ ，连边 $e_{1}, e_{2} = p \sim q$ ，边权分别为 $1, 0$ 。
对于不满足上述两种情况的站点对 $p, q$ ，理应不存在连边，而实现中边权记为一个较大的数。
此时对 $G_{1}, G_{2}$ 使用 $Floyd-Warshall$ 算法即可求出 $\forall 1 \leq p, q \leq 497$ ， $p, q$ 在 $G_{1}, G_{2}$ 中分别的最短路长度 $d s t_{1} (p, q), d s t_{2} (p, q)$ 。
设计三种函数（传入值为两个整数，为第一种编号方式下的站点）： ${calc}_{1} (i, j)$ 返回 $i, j$ 之间的最少换乘次数（特别地，需要枚举 $i, j$ 分别对应的虚拟站点 $p, q$ ，并求出 $d s t_{1} (p, q)$ 的最小值）； ${calc}_{2} (i, j)$ 返回 $i, j$ 之间的最短距离； ${calc}_{3} (i, j)$ 返回 $i, j$ 投用年份的比较，其中返回 $0, 1, 2$ 分别代表 $i$ 同年于、早于、晚于 $j$ 。

解决问题（欢迎查错！）

对于第一个问题，以下循环、运算由外向内：

枚举第一次猜测的站 $i$ ；
枚举 $(t, d) \in N_{\leq 3} \times N_{\leq 100}$ ，分别代表从 $i$ 出发最少换乘 $t$ 次、最短距离为 $d$ （ $t yf$ ：注意到从人民广场站出发可不多于一次换乘到达任意站）；
枚举以求出满足上述限制的站点编号（即 ${calc}_{1} (i, \cdot) = t$ ， ${calc}_{2} (i, \cdot) = d$ ），记录在数组 $v$ 中；
枚举第二次猜测的站 $j$ ；
遍历数组 $v$ ，若存在 $k_{1} \neq k_{2} \in V$ 使 $({calc}_{1} (j, k_{1}), {calc}_{2} (j, k_{1})) = ({calc}_{1} (j, k_{2}), {calc}_{2} (j, k_{2}))$ ，则第一次猜测 $i$ ，第二次猜测 $j$ 不是合法的策略，由于它们不能分辨 $k_{1}, k_{2}$ 。
遍历结束后，若不存在这样的 $k_{1}, k_{2}$ ，则在第一次猜测 $i$ 且得到的回答是 $(t, d)$ 的情况下，第二次猜测 $j$ 是一个合理的选择。

遗憾的是，对于任意的 $i$ ，都存在一组 $(t, d)$ 使得不存在能分辨出所有情形的 $j$ 。
因此我给出的答案是：不存在这样的方案。

对于第二个问题，以下循环、运算由外向内：

枚举第一次猜测的站 $i$ ；
枚举 $(t, d, o p) \in N_{\leq 3} \times N_{\leq 100} \times N_{\leq 2}$ ，分别代表从 $i$ 出发最少换乘 $t$ 次、最短距离为 $d$ 、投用年份比较结果为 $o p$ ；
枚举以求出满足上述限制的站点编号（即 ${calc}_{1} (i, \cdot) = t$ ， ${calc}_{2} (i, \cdot) = d$ ， ${calc}_{3} (i, \cdot) = o p$ ），记录在数组 $v$ 中；
枚举第二次猜测的站 $j$ ；
遍历数组 $v$ ，若存在 $k_{1} \neq k_{2} \in V$ 使 $({calc}_{1} (j, k_{1}), {calc}_{2} (j, k_{1}), {calc}_{3} (j, k_{1})) = ({calc}_{1} (j, k_{2}), {calc}_{2} (j, k_{2}), {calc}_{3} (j, k_{2}))$ ，则第一次猜测 $i$ ，第二次猜测 $j$ 不是合法的策略，由于它们不能分辨 $k_{1}, k_{2}$ 。
遍历结束后，若不存在这样的 $k_{1}, k_{2}$ ，则在第一次猜测 $i$ 且得到的回答是 $(t, d, o p)$ 的情况下，第二次猜测 $j$ 是一个合理的选择。

有趣的是，程序给出的可以作为第一次猜测的 $i$ 不少。不过 given that 上一个问题中往往是有两三个站难以分辨，这个结果是可以接受的。
因此我给出的结论是：这样的方案应当有非常多。

对于第三个问题，以下循环、运算由外向内：

枚举第一次猜测的站 $i$ ，第二次猜测的站 $j$ ；
枚举 $(t, d, o p) \in N_{\leq 3} \times N_{\leq 100} \times N_{\leq 2}$ ，分别代表从 $i$ 出发最少换乘 $t$ 次、最短距离为 $d$ 、投用年份比较结果为 $o p$ ；
枚举以求出满足上述限制的站点编号（即 ${calc}_{1} (i, \cdot) = t$ ， ${calc}_{2} (i, \cdot) = d$ ， ${calc}_{3} (i, \cdot) = o p$ ），记录在数组 $v$ 中；
遍历数组 $v$ ，若存在 $k_{1} \neq k_{2} \in V$ 使 $({calc}_{1} (j, k_{1}), {calc}_{2} (j, k_{1}), {calc}_{3} (j, k_{1})) = ({calc}_{1} (j, k_{2}), {calc}_{2} (j, k_{2}), {calc}_{3} (j, k_{2}))$ ，则第一次猜测 $i$ ，第二次猜测 $j$ 不是合法的策略，由于它们不能分辨 $k_{1}, k_{2}$ 。
所有 $(t, d, o p)$ 枚举结束后，若均不存在这样的 $k_{1}, k_{2}$ ，则在第一次猜测 $i$ ，第二次猜测 $j$ 是一个合理的选择。