Ynoi做题笔记

搬运自洛谷博客，原发表时间：2022-07-20

大致按照我感觉的难度排序。做了十四五道的样子，可以慢慢胡了。

评分标准：

技术力+思维力+代码力+卡常力

水平不够，评分暂时撤掉。

P3934 [Ynoi2016] 炸脖龙 I

题意：区间加，区间幂塔。

先考虑如何维护区间加+单点查询。很显然地，使用树状数组维护差分数组，前缀和即为该点的值。时间复杂度为 $O(\log n)$，常数较小。

使用扩展欧拉定理处理幂塔。设模数为 $p$，则 $\phi (p),\phi (\phi (p)),\phi (\phi (\phi (p)))...$ 模数在 $\log p$ 次后减小到 $1$，因此递归求解幂塔，时间复杂度为 $O(\log p)$。由于递归时需要进行树状数组的单点查询，因此总时间复杂度为 $O(\log p\log n)$。

由于需要计算 $\phi (p)$，线性筛预处理 $\phi$ 数组即可。预处理复杂度为 $O(p)$。

总时间复杂度为 $O(n+p+q\log p\log n)$。

技术力比较高一些，感觉实际难度并不大。

P5309 [Ynoi2011] 初始化

题意：将所有编号形如 $y+kx$ 的数加上 $z$，区间查询。

根号分治，设临界值为 $L$。

对于 $x\ge L$ 的情况，暴力修改即可。

而若 $x<L$ ，则考虑分块，计算不完整块的前后缀和与整块的 $sum$ 相加即可。

取 $L=O(\sqrt{n})$，两种情况时间复杂度均为 $O(\sqrt{n})$。

总时间复杂度为 $O(m\sqrt{n})$。

个人认为略微卡常，临界值 $L$ 取 ${\displaystyle \frac{3}{5}}\sqrt{n}$ 时较优。

P5524 [Ynoi2012] NOIP2015 充满了希望

题意：操作：交换两点点权，区间赋值，单点查；查询：一段操作区间得到的结果之和。

维护每个位置最后一次修改的时间戳，单点查询记录当前的值，使用线段树维护；查询按右端点排序，单点查时在时间戳上加上其结果，答案即为区间和，使用树状数组维护。

时间复杂度 $O(m\log n+q\log m)$。

P8511 [Ynoi Easy Round 2021] TEST_68

题意：一棵树，对于每个节点求其子树以外的任何两节点的最大异或和。

首先考虑整棵树，求出其最大异或和 $bst$，及得到该数的两点 $x,y$。

显然非 $x$ 或 $y$ 的祖先的所有节点的答案即为 $bst$。

考虑 $x$ 或 $y$ 的祖先：自顶向下，每次就增加了一定的点，分别对两条路径求最大异或和。

总时间复杂度 $O(n\log a)$，$a$ 为值域。

P5527 [Ynoi2012] NOIP2016 人生巅峰

题意：区间修改为原数的三次方，区间查询是否存在某两个子序列的和相等。

注意到可能的子序列的数量为 $2^{r-l+1}-1$ 个，而可能的和至多 $mod\times (r-l+1)$ 种。由抽屉原理，$r-l+1>13$ 时，答案必为 Yuno。

$r-l+1\le 13$ 时直接枚举即可，每个位置的值可以通过预处理快速得到，使用树状数组维护修改次数即可。

时间复杂度 $O(m\log n+m\times 2^{13}\times 13)$。可以优化，但足以通过。

P4689 [Ynoi2016] 这是我自己的发明

题意：一棵树，支持换根，求树上两点的子树内相同数的个数。

• 前置问题：link

有 $\text{get}(l,r,x)=\text{get}(1,r,x)-\text{get}(1,l-1,x)$。

设 $\text{g}(i,x)=\text{get}(1,i,x)$。

则问询可转化为 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(\text{g}(r_1,x)\text{g}(r_2,x)-\text{g}(r_1,x)\text{g}(l_2-1,x)-\text{g}(l_1-1,x)\text{g}(r_2,x)+\text{g}(l_1-1,x)\text{g}(l_2-1,x))$。

拆成如上4个操作后，莫队计算即可，时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

• 回到原题

不考虑换根操作，将节点投射到 dfs 序上，则子树为一段连续区间，即与P5268类似。

考虑静态处理换根：若当前根在 $x$ 原子树内，设 $t$ 为 $x$ 的原儿子中为当前根原祖先的那个（$t$ 可与当前根重合），则 $x$ 的当前子树为整棵树除去 $t$ 的原子树的部分。

（此处拆为2个区间，再与 $y$ 的区间分别产生莫队操作）

理性看待此题卡常：莫队操作数最大可达到 $16\times 5\cdot {10}^5=8\times {10}^6$。

取块长 $L={\displaystyle \frac{n}{\sqrt{m}}}$，时间复杂度 $O(n\sqrt{m})$。（写法较为重要）

P5607 [Ynoi2013] 无力回天 NOI2017

题意：区间异或上 $v$，区间与 $v$ 最大异或

区间操作，与炸脖龙一样的思路想到差分，转化为单点修改。维护树状数组的时间复杂度为 $O(m\log n)$。

设差分数组 $b_i=a_i\oplus a_{i-1}$，则 $a_i=b_1\oplus b_2\oplus ...\oplus b_i$。

有一个性质（这一步非常妙，查看了题解才想出来）：$\{a_l,a_{l+1},...,a_r\}$ 的线性基 $=$ $\{a_l,b_{l+1},...,b_r\}$ 的线性基。

感性证明：因为 $\{a_l,a_{l+1},...,a_r\}$ 中的数都能用 $\{a_l,b_{l+1},...,b_r\}$ 的某种异或表示出来，得证。

于是就不难想到使用线段树维护 $b$ 数组的线性基，区间查询时求 $a_l\cup b_{[l+1,r]}$ 即可。

总时间复杂度 $O((n+m)\log n{\log }^{2}V)$，空间复杂度 $O(n\log V)$（$V$ 为值域）。

好像不怎么卡常。难点在于将原数组查询转换为差分数组查询的性质。

P5610 [Ynoi2013] 大学

题意：区间将 $x$ 的倍数除以 $x$，区间查询

对于一个数 $a$，至多对其操作 $d(a)$ 次。考虑从这个性质入手，用树状数组维护，时间复杂度为 $O(nd(a)\log n)$。

接下来考虑如何维护 $x$ 的倍数集合。使用并查集快速查找下一个 $x$ 倍数的位置。时间复杂度为 $O(nd(a)\alpha (n))$。

总时间复杂度为 $O(nd(a)\log n+nd(a)\alpha (n))$。

个人认为较为卡常，也许是这个方法常数较大。（upd：似乎不手写内存也能过）

P5356 [Ynoi2017] 由乃打扑克

题意：区间加，区间第 $k$ 小。

分块，块内排序。（排序后的数组最好附带一个原数组的编号）

（以下 $L$ 表示块长）

• 区间加

整块打 $\text{tag}$，散块中挑出区间内的数（有序），修改后和剩下的数归并排序得到整块的有序数组。

时间复杂度为 $O(L+{\displaystyle \frac{n}{L}})$。

• 区间第 $k$ 小

散块通过归并排序为一组，一整块单独为一组。值域中二分答案，在每组中求出大于其的个数，判断加起来后是否达到 $k$ 即可。

时间复杂度 $O(\mathrm{\Delta }{\displaystyle \frac{n}{L}}\log L)$，$\mathrm{\Delta }$ 表示二分次数。

理论上取 $L=O(\sqrt{n}\log n)$ 较优，时间复杂度约为 $O(n\sqrt{n}\log n)$。

卡常技巧：根据块内最值求出二分上下界，能带来较大常数优化。

被神 $\text{l}\text{gvc}$ 多一个 $\log$ 的快速排序干爆了。

P5047 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II

题意：区间逆序对数。

莫二离的本质：$O(n\sqrt{m}\mathrm{\Delta })\to O(n\sqrt{m}+n\mathrm{\Delta })$，$\mathrm{\Delta }$ 为单次挪动指针的复杂度。

适用范围：$\mathrm{\Delta }>O(1)$，一个数的对区间的贡献与区间中的数有关，贡献可差分。

设 $f(x,l,r)$ 为 $a_x$ 对区间 $[l,r]$ 的贡献，$F(x,l)=f(x,1,l)$。（区间转化为前缀差分）

在右指针移动到 $x$ 时，会产生的答案变动为 $f(x,l,x-1)=F(x,x-1)-F(x,l-1)$；

在左指针移动到 $x$ 时，会产生的答案变动为 $f(x,x+1,r)=F(x,r)-F(x,x)$。

$F(x,x-1),F(x,x)$ 可预处理；由于莫队指针移动的连续性，可以将连续的 $-F(x,l-1)$ 和 $F(x,r)$ 记录在区间中，二次计算。（也就是二次离线）

而指针的移动对后续询问都有贡献，因此求前缀和后才是真正的答案。

由于二次计算需要 $O(\sqrt{n})$ 插入，$O(1)$ 查询，离散化后使用值域分块即可。

时间复杂度 $O(n\sqrt{n}+n\sqrt{m})$。

略微卡常，调一下块长就能过。

P5072 [Ynoi2015] 盼君勿忘

题意：区间中所有子序列分别去重后的和取模。

~~吐槽：真的有黑吗？？？不过一个下位_{中位紫的莫队+光速幂科技。}~

静态查询想到莫队。对于一个数 $x$，它在区间 $[l,r]$ 中出现了 $y$ 次，则其贡献为 $(2^{r-l+1}-2^{r-l+1-y})\times x$。

对于出现次数建立链表，并维护所有出现次数相同的数之和。（unordered_set亦可代替链表，稍慢）

考虑省去计算2的幂的 $\log$，使用光速幂即可。

总时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$。（似乎有一个点较为卡常？删去一个不必要取模后加速0.4s有余。）

P5355 [Ynoi2017] 由乃的玉米田

弱化版：link

题意：区间查询是否存在两个数加，减，乘或除为 $x$。

前三种操作使用莫队+两个 $\text{bitset}$ 维护，下称 $b_1,b_2$。若一个数 $x$ 出现在区间中，则 $b_1[x]=1,b_2[R-x]=1$。（此题中值域 $R={10}^5$）

• 加：存在 $p,q$，使得 $p+q=x$，变形得 $p+R-x=R-q$，即 $b_1[p+R-x]\text{and}{b}_2[q]=1$。

• 减：存在 $p,q$，使得 $p-q=x$，变形得 $p=q+x$，即 $b_1[p]\text{and}{b}_1[q+x]=1$。

• 乘：暴力枚举每一对 $x$ 的约数并查询其是否都存在。

前三种操作时间复杂度为 $O({\displaystyle \frac{n^2}{w}})$。

接下来考虑除法。

• 对于 $x\ge \sqrt{R}$：暴力枚举 $1$ 到 $\frac{R}{x}$ 的所有数，查询其是否存在即可。

• 对于 $x<\sqrt{R}$：单独处理，对于每一个 $x$ 进行枚举，并令 $i$ 从 $1$ 扫到 $n$：$L[i]$ 表示最大的 $l$ 使得 $l$ 到 $p$ 中存在一对商为 $x$ 的数。对于区间问询 $l,r$，若 $l\le L[r]$，则存在。

感觉除法的难度比前三种加起来都高。

除法时间复杂度为 $O(n\sqrt{R})$。

总时间复杂度 $O({\displaystyle \frac{n^2}{w}}+n\sqrt{R})$。

P7446 [Ynoi2007] rfplca

题意：一棵有根树，区间的父节点编号减去 $x$，查询两个点的lca。

现场听lxl讲了这题！

• 前置问题：link

考虑分块维护（1/1），$stp[i]$ 为从 $i$ 开始跳出块的步数，$pos[i]$ 为从 $i$ 跳出块后到了的位置。

修改：整块暴力重构。

• 回到原题

一眼弹飞绵羊，可以说是一个强化版。

一般来说DS题有两种：修改很复杂、问询很简单；修改很简单、问询很复杂，此题属于前者——lxl

修改看起来很离谱，整棵树的顺序都被打乱了，而问询只需要求lca。因此考虑不维护树的结构。

考虑分块维护（2/1），$pos[i]$ 为从 $i$ 向上跳出块后到了的位置。

• 查询

lca的过程很像重链剖分。

对于 $u,v$ 两点:

若 $pos[u]>pos[v]$，令 $u\leftarrow pos[u]$；

若 $pos[u]<pos[v]$，令 $v\leftarrow pos[v]$；

若 $pos[u]=pos[v]$，$u>v$ 则令 $u\leftarrow pos[u]$，反之则令 $v\leftarrow pos[v]$。

• 修改

散块暴力重构；

对于整块，由于每次修改后 $fa$ 递减，因此修改次数 $\ge \sqrt{n}$ 时必有 $fa[i]=pos[i]$。

时间复杂度 $O(m\sqrt{n})$。