排列和组合

排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关．如231与213是两个排列,2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． 
　　(一)两个基本原理是排列和组合的基础 
　　(1)加法原理：做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． 
　　(2)乘法原理：做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法． 
　　这里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理；做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理． 
　　这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来． 
　　(二)排列和排列数 
　　(1)排列：从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 
　　从排列的意义可知,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序必须完全相同,这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． 
　　(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 
　　当m＝n时,为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n!
　　(三)组合和组合数 
　　(1)组合：从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 
　　从组合的定义知,如果两个组合中的元素完全相同,不管元素的顺序如何,都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合． 
　　(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个 
　　这里要注意排列和组合的区别和联系,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的． 
　二、两个基本计数原理及应用 
　　(1)加法原理和分类计数法 
　　1．加法原理 
　　2．加法原理的集合形式 
　　3．分类的要求 
　　每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏) 
　　(2)乘法原理和分步计数法 
　　1．乘法原理 
　　2．合理分步的要求 
　　任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同

 

 

 

 

注意：0! = 1，1 ! =  1

 

C(n,m) 注意：第一个为底数，第二个为顶数

C(n,1) = 从n中拿1个 = n

C(n,n) = 从n中拿n个 = 1

 

A(n,1) = 从n中有序拿一个 = n

A(n,n) = 从n中有序拿n个 =  n! / (n-n)! = n! / 1 = n!